Занятие 9-11. Приложение векторной алгебры к решению задач элементарной геометрии

Задачи

1. - замкнутая пространственная ломаная, где .

Доказать, что

2. В пространстве даны два параллелограмма и. Доказать, что середины отрезковявляются вершинами нового параллелограмма.

3. Показать, что в правильной треугольной пирамиде противоположные ребра взаимно перпендикулярны.

4. Доказать, что если в параллелепипеде все диагонали равны, то он прямоугольный.

5. Доказать, что в кубе плоскостьи диагональперпендикулярны.

6. Доказать, что если в некотором пространственном четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других сторон.

7. Найти синус угла при вершине равнобедренного треугольника, если его медиана, проведенная к боковой стороне, составляет с основанием угол, синус которого равен .

8. На стороне параллелограммавзята точкатак, что. Прямаяпересекает диагональв точке. Определить отношение:.

9. Основание равнобедренного треугольника равно , угол при вершине равен. Найти длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне.

10. Найти косинусы углов равнобедренного треугольника, у которого точка пересечения высот делит пополам высоту, проведенную к основанию.

11. Найти синус угла ромба, если из середины его стороны противоположная сторона видна под углом .

12. Угол при вершине трапецииравен. Боковая сторонавдвое больше меньшего основания. Найти.

Обсуждение самостоятельных решений задач ИДЗ. Работа № 6. Приложение векторов к решению задач. [5].

Занятие 12. Метод координат на плоскости

Цель занятия: Выработать навыки решения простейших задач на метод координат.

Задачи

1. В аффинной системе координат заданы вершиныпараллелограмма. Найти координаты вершины.

2. В аффинной системе координат ,,. Найти координаты центра тяжести треугольника.

3. В прямоугольной системе координат ,. Найти координаты оснований биссектрис углов треугольника.

4. В прямоугольной системе координат ,. Найти центр и радиус окружности, описанной около треугольника.

5. В прямоугольной системе координат . Найти координаты остальных вершин квадрата.

6. Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних углов разностороннего треугольника, с прямыми, содержащими третью сторону, лежат на одной прямой.

7. Найти множество всех точек плоскости, отношение расстояний от которых до заданных точек иравно 2.

Занятие 13-14. Уравнение прямой на плоскости

Цель занятия: Сформировать навыки составления уравнения прямой.

Задачи

1. В аффинной системе координат задана прямая . Найти: а) координаты направляющего вектора прямой; б) координаты точки, принадлежащей прямой; в) каноническое, параметрические уравнения и уравнение прямой в отрезках; г) уравнение прямой, параллельной прямой, и проходящей через точку.

2. В аффинной системе координат заданы точки – середины сторон треугольника. Найти уравнения прямых, содержащих стороны этого треугольника.

3. –параллелограмм, – его центр. В аффинной системе координат,. Найти уравнения прямыхи.

4. В прямоугольной системе координат . Найти проекцию точкина прямую.

5. В прямоугольной системе координат . На прямойнайти точкутакую, что.

6. Найти уравнение прямой, проходящей через точку , и отсекающей на координатных осях равные отрезки.

7. В прямоугольной системе координат . Найти а) уравнения прямых, на которых лежат высоты, медианы треугольника; б) прямых, проходящих через вершины треугольникапараллельно противоположной стороне.

8. Найти координаты вершин ромба , если,.

9. В прямоугольной системе координат . Найти третью вершину треугольника, если она лежит на прямой, а площадь треугольника равна 8 кв. ед.

10. Даны вершина и прямые, содержащие медианы треугольника. Найти вершиныитреугольника.

Домашнее задание ИДЗ. Работа №1. Типовые задачи аналитической планиметрии. [7].