§13. Сжатие пространства к плоскости

О п р е д е л е н и е. Отображение пространства в себя, при котором каждой точке соответствует точкатакая, что, где,– ортогональная проекция точкина данную плоскость, называетсясжатием пространства к плоскости с коэффициентом.

Несложно найти формулы сжатия к плоскости : .

§14. Эллипсоид

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная вращением эллипса вокруг его оси симметрии, называется эллипсоидом вращения.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и в плоскостив репереэллипс задан каноническим уравнением. Чтобы получить эллипсоид вращения с осью, достаточно рассмотреть линию, заданную уравнением.

Поверхность, полученная при вращении этой линии вокруг оси , будет задаваться уравнением.

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная из эллипсоида вращения путем сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения, называется эллипсоидом.

Выполнив сжатие к плоскости , получимканоническое уравнение эллипсоида: .

Самостоятельно исследовать методом сечений и построить эллипсоид.

§15. Гиперболоиды

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, называется однополостным гиперболоидом вращения.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и в плоскостив реперегипербола задана каноническим уравнением. Чтобы получить однополостный гиперболоид вращения, достаточно рассмотреть одну ветвь гиперболы, заданную уравнением.

Поверхность, полученная при вращении этой линии вокруг оси , будет задаваться уравнением–каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения.

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная из однополостного гиперболоида вращения путем сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения, называется однополостным гиперболоидом.

Выполнив сжатие к плоскости , получимканоническое уравнение однополостного гиперболоида:

.

Самостоятельно исследовать методом сечений и построить однополостный гиперболоид.

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг её действительной оси, называется двуполостным гиперболоидом вращения.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и в плоскостив реперегипербола задана каноническим уравнением. Чтобы получить двуполостный гиперболоид вращения, достаточно рассмотреть точки гиперболы, расположенные в полуплоскости. Это будут точки, задаваемые уравнением:.

Поверхность, полученная при вращении этой линии вокруг оси , будет задаваться уравнением– каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения.

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная из двуполостного гиперболоида вращения путем сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения, называется двуполостным гиперболоидом.

Выполнив сжатие к плоскости , получимканоническое уравнение двуполостного гиперболоида:

.

Самостоятельно исследовать методом сечений и построить двуполостный гиперболоид.

§16. Параболоиды

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная вращением параболы вокруг её оси, называется параболоидом вращения.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и в плоскостив реперепарабола задана каноническим уравнением. Чтобы получить параболоид вращения, достаточно рассмотреть одну ветвь параболы, заданную уравнением.

Поверхность, полученная при вращении этой линии вокруг оси , будет задаваться уравнением–каноническое уравнение параболоида вращения.

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная из параболоида вращения путем сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения, называется эллиптическим параболоидом.

Выполнив сжатие к плоскости , получимканоническое уравнение эллиптического параболоида:

.

Исследование эллиптического параболоида методом сечений:

1. Из уравнения следует, что плоскости являются плоскостями симметрии, а ось– осью симметрии.

2. При пересечении эллиптического параболоида с плоскостью получаем точку– вершина эллиптического параболоида.

3. При пресечении эллиптического параболоида с плоскостью , параллельной плоскости, получаем эллипс () или мнимый эллипс ().

4. При пересечении эллиптического параболоида с плоскостью или плоскостями ей параллельными (), получаем параболыс одним и тем же фокальным параметром. То есть это будут одинаковые параболы, расположенные в параллельных плоскостях.

5. Аналогично, при пересечении эллиптического параболоида с плоскостью и параллельными ей плоскостями, будем получать одинаковые параболы с фокальным параметром.

Из пунктов 4 и 5 исследования эллиптического параболоида методом сечений следует другой способ получения эллиптического параболоида.

Пусть – две параболы с общей вершиной, общей осью, расположенные в перпендикулярных плоскостях, и их ветви направлены в одну сторону. Тогда, поверхность, полученная смещением одной параболы параллельно самой себе так, что её вершина скользит по другой параболе, будет эллиптическим параболоидом.

Пусть – неподвижная парабола, а– подвижная парабола. Можно показать, что координаты любой точкиповерхности Ф, образованной смещениемпараллельно самой себе так, что её вершина скользит по параболе, и только координаты этих точек будут удовлетворять уравнению. То есть поверхность Ф является эллиптическим параболоидом.

Если – две параболы с общей вершиной, общей осью, расположенные в перпендикулярных плоскостях, и их ветви направлены в противоположные стороны, то уравнение поверхности Ф, полученной смещением одной параболы параллельно самой себе так, что её вершина скользит по другой параболе, будет иметь видили. Поверхность, задаваемая таким уравнением, называетсягиперболическим параболоидом (сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям, являются либо гиперболами, либо параболами).