§5. Уравнения -мерных плоскостей

Пусть в -мерном аффинном пространствезадана аффинная система координат.

-плоскость задана точкой и направляющим подпространствомс базисом.

Точка принадлежит плоскоститогда и только тогда, когда, то есть тогда и только тогда, когдаили. Получилипараметрические уравнения -плоскости в -мерном аффинном пространстве (вспомните параметрические уравнения прямой и плоскости в геометрическом пространстве).

Из курса алгебры известна теорема о задании подпространства векторного пространства с помощью системы линейных однородных уравнений

Т е о р е м а. Пусть дана система независимых линейных однородных уравнений

с неизвестными. Множество всех векторов-мерного векторного пространства, координаты которых удовлетворяют этой системе, является-мерным векторным подпространством пространства.

Итак, пусть векторное подпространство задано системойнезависимых линейных однородных уравнений. Точкапринадлежит плоскоститогда и только тогда, когда координаты вектораудовлетворяют системе линейных однородных уравнений, задающих. Отсюда имеем

систему независимых линейных уравнений –общие уравнения -плоскости.

Частные случаи:

1. Прямая на плоскости () – одно линейное уравнение.

2. Плоскость в трехмерном пространстве () – одно линейное уравнение.

3. Прямая в трёхмерном пространстве () – система двух независимых линейных уравнений.

4. Гиперплоскость в -мерном пространстве () – одно линейное уравнение.

Таким образом, любая -плоскость может рассматриваться как пересечениегиперплоскостей.

О п р е д е л е н и е. Две плоскости называются пересекающимися, если они имеют хотя бы одну общую точку.

Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть плоскость, направляющее подпространство которой является пересечением направляющих подпространств этих плоскостей.

Если в -мерном аффинном пространстве плоскостиитаковы, что, где– размерность пересечения направляющих подпространств, то плоскостиипересекаются (рассмотрите случай двух плоскостей, прямой и плоскости в геометрическом пространстве).

О п р е д е л е н и е. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек и направляющее подпространство одной из них содержится в направляющем подпространстве другой.

О п р е д е л е н и е. Две плоскости называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек и не параллельны.

Если сумма размерностей плоскостей больше либо равна размерности пространства, то эти плоскости не могут быть срещивающимися (в геометрическом пространстве две прямые могут быть скрещивающимися, а прямая и плоскость не могут быть скрещивающимися).

§6. Определение некоторых фигур аффинного пространства

О п р е д е л е н и е. Пусть три точки одной прямой. Числоназываетсяпростым отношением точек , если.

Т е о р е м а 1. Для любого действительного числа на прямойсуществует единственная точкатакая, что.

О п р е д е л е н и е. Точка лежит между точкамии (), если.

Из теоремы 1 следует, что между точками илежит бесконечно много точек.

Т е о р е м а 2. Если , то.

О п р е д е л е н и е. Отрезком с концами иназывается фигура, состоящая из точекии всех точек, лежащих между ними.

Т е о р е м а 3. Отрезок есть множество всех точектаких, что.

О п р е д е л е н и е. Лучом называется фигура состоящая из точек отрезкаи всех точектаких, что.

О п р е д е л е н и е. Фигура, состоящая из всех точек таких, чтогдеи– линейно независимая система векторов, называется -мерным параллелепипедом, натянутым на точкуи векторы (при имеем отрезок, при– параллелограмм).