§9. Ориентируемость поверхности. Эйлерова характеристика

Основными топологическими инвариантами замкнутой поверхности являются эйлерова характеристика и ориентируемость.

Множество точек, гомеоморфное простому многоугольнику, является простой поверхностью и называется клеткой.

Поверхность разбита на клетки , еслии две различные клетки либо не имеют общих точек, либо имеют общую вершину, либо имеют общую сторону.

Например, грани тетраэдра образуют клеточное разбиение поверхности тетраэдра.

В топологии доказывается, что всякая двумерная компактная поверхность может быть разбита на конечное число клеток и это разбиение можно осуществить многими способами.

Пусть поверхность разбита на клетки. Обозначим– число вершин,– число сторон,– число клеток клеточного разбиения.

Число называетсяэйлеровой характеристикой поверхности .

Т е о р е м а 1. Эйлерова характеристика не зависит от клеточного разбиения поверхности.

Т е о р е м а 2. Эйлерова характеристика поверхности является топологическим инвариантом.

Т е о р е м а 3. Если поверхность получена склеиванием поверхностей, то её эйлерова характеристика равна сумме эйлеровых характеристик склеиваемых поверхностей.

У п р а ж н е н и е. Вычислить эйлерову характеристику тетраэдра, сферы, ручки, листа Мебиуса, сферы с дыркой, сферы с дырками, сферы с ручками, сферы с листами Мебиуса.

Клетка называется ориентированной, если указан порядок обхода её сторон.

Если в ориентации двух клеток общая сторона получает противоположную ориентацию. То говорят, что клетки ориентированы одинаково.

Поверхность называется ориентируемой (двусторонней) если существует клеточное разбиение поверхности, в котором все клетки можно одинаково ориентировать. В противном случае поверхность называется неориентируемой (односторонней).

Т е о р е м а 4. Ориентируемость поверхности не зависит от способа её клеточного рабиения.

Т е о р е м а 5. Ориентируемость поверхности является топологическим инвариантом.

Тетраэдр, сфера, ручка – ориентируемые поверхности.

Лист Мёбиуса – неориентируемая поверхность.

Т е о р е м а 6. Две замкнутые поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда они обе ориентируемы или неориентируемы и их эйлеровы характеристики равны.

§10. Топологические свойства проективной плоскости

Пусть – полусфера с краем. Склеивая пары диаметрально противоположных точек края, получим замкнутую поверхность, являющуюся моделью проективной плоскости.

Полуокружность большого круга с отождествленными концами играет роль прямой на проективной плоскости.

Очевидно, что является связным множеством (сравните с аналогичной ситуацией на евклидовой плоскости).

Разобьем полусферу с краем на три поверхности с помощью двух параллельных плоскостей. Две из этих поверхностей гомеоморфны полукругу, а одна гомеоморфна прямоугольнику. Отождествление диаметрально противоположных точек края первых двух поверхностей дает поверхность, гомеоморфную сфере с дыркой. Отождествление даметральнопротивоположных точек третьей поверхности дает поверхность, гомеоморфную листу Мебиуса. Таким образом, проективная плоскостьгомеоморфна сфере с листом Мебиуса, а значитнеориентируема и.