§13. Полюсы и поляры. Поляритет

Пусть на проективной плоскости относительно репера линиявторого порядка задается уравнением.

Для произвольной точки плоскости рассмотрим множествовсех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:

. (1)

Если не особая точка, то уравнение (1) определяет прямую: − поляра точки ,−полюс прямой .

Если линия не имеет особых точек, то для каждой точкиплоскости существует единственная поляра. Для каждой прямойсуществует единственная точка− полюс, координаты которого можно найти из системы уравнений, где. Кроме того, если, то их поляры различны. Предположим противное. Тогдаили имеем систему линейных однородных уравнений

,

определитель которой отличен от нуля. Следовательно, система имеет только нулевое решение. Тогда .

Таким образом, всякая невырожденная линия второго порядка определяет биекцию между точками и прямыми плоскости −поляритет.

Свойства полюсов и поляр.

1. Из уравнения (1) следует, если точка принадлежит линии, то её полярой является касательная кв точке.

2. Из уравнения (1) следует, если точка принадлежит своей поляре, то эта точка принадлежит линии.

3. Пусть точка не лежит на линии. Проведем черезпрямую, пересекающуюв двух различных точкахи. Найдем наточкутакую, что парагармонически разделяет пару.

Ясно, что и. Точки,порождаются векторами, где каждое из чиселотлично от нуля. Имеем

.

Это отношение должно быть равно , поэтомуили. То есть сумма корней квадратного уравнения

,

определяющего точки пересечения прямой и линии, должна быть равна. Значит, второй коэффициент в уравнении должен быть равен нулю:. Отсюда следует, что точкапринадлежит поляреточки.

Таким образом, имеем способ построения поляры точки , не лежащей на линии: через точку проводим прямыеи, пересекающиесоответственно, в точкахи; для каждой тройки точеки, строим четвертую гармоническую точкуи; прямая− поляра точки.

4. Так как , то имеемсвойство взаимности поляритета: если точка лежит на поляреточки, то точкалежит на поляреточки.

Пусть прямая пересекает линиюв двух точкахи. Тогда, по свойству 1, поляраточки,является касательной кв точке.

Пусть − полюс прямой. Из условия, по свойству взаимности поляритета, следует, что. Следовательно,. Таким образом, можем строить касательныек линии, гдеи− поляра точки.

Обратно, если через точку проходят две касательные к линиии− точки касания, то прямая − поляра точки.

Если через точку проходят две касательные к линии, то точканазывается внешней относительно линии.

Если через нельзя провести ни одной касательной, то− внутренняя относительно линии.

У п р а ж н е н и е. На евклидовой плоскости дан эллипс. На расширенной плоскости построить поляру данной точки относительно этого эллипса в случае: а)находится на эллипсе; б)является внутренней точкой относительно эллипса; в)является внешней точкой относительно эллипса; г)является несобственной точкой некоторой прямой.

У п р а ж н е н и е. На евклидовой плоскости дан эллипс. На расширенной плоскости построить полюс данной прямой относительно данного эллипса в случае а)пересекает эллипс в двух различных вещественных точках; б)касается эллипса; в)пересекает эллипс в двух мнимых комплексно-сопряженных точках; г)− несобственная прямая расширенной плоскости.

У п р а ж н е н и е. Пользуясь одной линейкой, через точку вне круга провести касательную к окружности этого круга.