§4. Модель системы аксиом

Для каждого рода структур

возникает вопрос о применимости его теории: «Существуют ли конкретные множества , на которых указан конкретный смысл отношенийтак, что все аксиомывыполняются?».

В случае положительного ответа на этот вопрос, эти конкретные множества и конкретные отношения называются моделью M рода структур или интерпретацией системы аксиом . При этом говорят, что на множествах определена структура данного рода структур.

Примеры моделей систем аксиом.

I. Одна из моделей поля действительных чисел строится на базе множества бесконечных десятичных дробей с определенными для них сложением, умножением и порядком [12].

Эта модель называется арифметической моделью поля действительных чисел.

II. Легко построить арифметическую модель -мерного векторного пространства, взяв в качестве множествадекартову-ю степень множества– поля действительных чисел, и определив сложение векторов и умножение вектора на число по следующим правилам:

.

III. Определив в арифметической модели -мерного векторного пространства скалярное умножение векторови по следующему правилу: , получим арифметическую модель евклидова-мерного векторного пространства.

IV. Для построения арифметической модели системы аксиом Вейля -мерного аффинного пространства, нужно взять в качестве множеств базы: ,.

Отображение каждой паре точекиставит в соответствие вектор.

Тогда для точки и векторасуществует единственная точка , что.

Для любых трех точек ,,имеем:

,

,

,

.

Таким образом, аксиомы Вейля -меного аффинного пространства выполняются.

V. Из примеров III и IV ясно как построить арифметическую модель евклидова -мерного точечного пространства.

VI. Построим модель системы аксиом проективного -мерного пространства над полемдействительных чисел. В качестве множестварассмотрим множество классов, состоящих из ненулевых матриц-строк издействительных чисел, таких, что все матрицы одного класса отличаются друг от друга числовыми множителями. В качествевозьмем– арифметическую модель-мерного векторного пространства.

Тогда отображение можно определить следующим образом. Векторупоставим в соответствие класс, содержащий матрицу-строку. Выполнение аксиом 1-2 проективного пространства очевидно.

VII. На всяком непустом множестве X можно задать метрику, положив, например, . Легко проверить выполнение аксиом метрического пространства.

Таким образом, имеем бесконечно много моделей метрического пространства.

VIII. Легко построить бесконечно много моделей топологического пространства, определяя на всяком непустом множестве X антидискретную топологию, полагая или дискретную топологию, полагая– семейство всех подмножеств множества X.

С помощью координат векторов в некотором базисе легко устанавливается изоморфизм любой модели -мерного векторного пространства с арифметической моделью.

Аналогично, с помощью координат векторов в ортонормированном базисе легко установить изоморфизм любой модели -мерного евклидова векторного пространства с арифметической моделью.

Задание аффинной системы координат в любой модели аффинного -мерного пространства позволяет установить изоморфизм этой модели с арифметической моделью.

Аналогично, задание прямоугольной системы координат в любой модели евклидова -мерного точечного пространства позволяет установить ее изоморфизм с арифметической моделью этого пространства.

Задание базиса в векторном пространстве любой модели проективного -мерного пространства позволяет установить изоморфизм этой модели с построенной выше моделью проективного-мерного пространства.