§2. Основные математические структуры курса геометрии

1. Структура поля действительных чисел.

База:

−множество, элементы которого называются действительными числами.

Отношения:

1. Тернарное отношение , определяющее бинарную алгебраическую операцию − сложение, обозначаемую символом.

Если , то.

2. Тернарное отношение , определяющее бинарную алгебраическую операцию − умножение, обозначаемую символом .

Если , то .

3. Бинарное отношение , − отношение предшествования, обозначаемое символом. Если, то будем записыватьи называть числоменьшим числа , а число большим числа.

Аксиомы:

14. 

(аксиома непрерывности).

2. Структура n-мерного векторного пространства над полем .

База:

− множество векторов,− поле действительных чисел.

Отношения:

1. Тернарное отношение , определяющее бинарную алгебраическую операцию − сложение векторов, обозначаемую символом +.

Если то.

2. Тернарное отношение , определяющее умножение вектора на число, обозначаемое постановкой числа и вектора рядом.

Если , то.

Аксиомы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. Существует базис из векторов.

3. Структура n-мерного евклидова векторного пространства над полем .

Добавим к отношениям структуры n-мерного векторного пространства тернарное отношение, определяющее отображение , называемое скалярным умножением векторов, обозначаемое символомв соответ-ствии с равенством, и удовлетворяющее аксиомам:

10. .

11. .

12. .

13. 

4. Структура n-мерного аффинного пространства.

База:

множество точек, –n-мерное векторное пространство над полем действительных чисел, называемое пространством переносов.

Отношения:

Тернарное отношение , определяющее

отображение . Если, то условимся обозначать.

Аксиомы:

К аксиомам n-мерного векторного пространства добавляются две аксиомы Вейля.

5. Структура евклидова n-мерного точечного пространства.

Если к отношениям и аксиомам структуры -мерного аффинного пространства добавить отношения и аксиомы, которые делают пространство переносов евклидовым векторным пространством, то получим структуру евклидова-мерного точечного пространства.

6. Структура проективного пространства.

База:

–множество точек, – векторное пространство размерности,–поле действительных чисел.

Отношения:

Бинарное отношение , определяющее отображение. Если, то будем говорить, что векторпорождает точкуи записывать.

Аксиомы:

1. , то есть π сюръективно.

2. .

7. Структура метрического пространства.

База:

–непустое множество, – поле действительных чисел.

Отношения:

Тернарное отношение , определяющее отображение. Если, то будем говорить, что– расстояние отдо.

Аксиомы:

1. 

2. 

3. (аксиома «треугольника»).

8. Структура топологического пространства.

База:

–множество точек.

Отношения:

Унарные отношения на множестве.

Подмножества условно называютсяоткрытыми.

Совокупность всех открытых множеств называетсятопологией пространства.

Аксиомы:

1. 

2. 

3. .

Лекция 2. Теория рода структур. Модель системы аксиом. Основные свойства системы аксиом §3. Теория рода структур

Математика занимается изучением математических структур. Основным ее методом является аксиоматический метод: структура каждого рода определяется при помощи соответствующей системы аксиом , а дальше логическим путем строится теория структур этого рода – совокупность предложений, каждое из которых является либо аксиомой, либо выводится из высказываний, полученных ранее, при

помощи принятых в математической логике правил вывода.

Так, мы имеем теорию групп, теорию колец, теорию (геометрию) аффинного, евклидова, проективного пространства, и т.д.

Если в теориях идвух родов структур все понятия и отношения каждого из этих родов структур можно определить как основные или производные понятия и отношения другого рода структур и при этом все аксиомы каждой из этих теорий будут аксиомами или теоремами другой теории, то говорят, что этидве теории совпадают. Системы аксиом ∑ и этих родов структур называютсяэквивалентными.