§14. Индикатриса Дюпена

Пусть вблизи точки гладкая поверхность не является частью плоскости, то есть, исключен случай.

В касательной плоскости в точке поверхности рассмотрим пучок прямых с центром. На каждой из прямых этого пучка от точкипо обе стороны отложим отрезки длиной, где– отличная от нуля нормальная кривизна линий на поверхности, дя которых данная прямая является касательной.

Линия, образованная концами отложенных таким образом отрезков, называется индикатрисой кривизны поверхности или индикатрисой Дюпена в точке . Задав в касательной плоскости к поверхности в точке аффинную систему координат, получим уравнение индикатрисы Дюпена

,

которое распадается на два уравнения второго порядка.

Соответствующие квадрики обладают центром симметрии в точке (отсутствие первых степеней координат в уравнении указывает на совпадение центра симметрии с началом координат).

Эти квадрики не проходят через начало системы координат, то есть через точку , так как свободный член отличен от нуля.

По этим причинам это не могут быть пара мнимых пересекающихся прямых, пара пересекающихся прямых или пара совпавших прямых, а так же парабола.

Вид индикатрисы зависит от дискриминанта её уравнения. Возможны случаи

1. . Индикатриса распадается на эллипс и мнимый эллипс. Точканазываетсяточкой эллиптического типа. Частным случаем точек эллиптического типа является омбилическая точка, в которой индикатриса Дюпена распадается на две окружности.

В точке эллиптического типа нет асимптотических направлений.

2. . Индикатриса – пара сопряженных гипербол. Точка называетсяточкой гиперболического типа.

В точке гиперболического типа существуют два асимптотических направления.

3. . Индикатриса – линия параболического типа, обладающая центром симметрии; это будет пара параллельных прямых и пара мнимых параллельных прямых. Точка называетсяточкой параболического типа.

В точке параболического типа существует одно асимптотическое направление.

Лекция 5. Понятие внутренней геометрии поверхностей §15. Главные направления на поверхности. Полная и средняя кривизна поверхности. Формула Эйлера

Главные напрвления относительно индикатрисы Дюпена в точке поверхности называютсяглавными направлениями на поверхности в точке.

В неомбилической точке поверхности существует единственная пара главных направлений. В омбилической точке любые два ортогональных направления могут считаться главными.

Нормальные кривизны по главным направлениям в точкеповерхности называютсяглавными кривизнами поверхности в точке, их произведение –полной или гауссовой кривизной, а полусумма –средней кривизной поверхности.

Можно получить следующие формулы для вычисления полной и средней кривизны:

.

Так как , тов точках эллиптического типа,в точках гипеболического типа ив точках параболического типа.

Нормальная кривизна поверхности в точке в произвольном направлении выражается через главные кривизны по формуле Эйлера:

.

Здесь – угол между первым главным направлением и произвольным направленем в точке на поверхности.

Имеет место

Т е о р е м а. Одна из главных кривизн представляет собой наименьшее, а другая – наибольшее возможное значение нормальной кривизны в данной точке поверхности.