
- •Лекция 2. Понятие кривой. Гладкие кривые. Канонический репер. Формулы Серре-Френе §2. Понятие кривой
- •§3. Гладкие кривые
- •§4. Касательная к кривой
- •§5. Длина кривой
- •§6. Канонический репер
- •§7. Формулы Серре-Френе
- •Лекция 3. Понятие поверхности. Гладкие поверхности. Координатная сеть на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности §8. Векторная функция двух скалярных аргументов
- •§9. Понятие поверхности
- •§10. Кривые на поверхности
- •§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Лекция 4. Первая и вторая квадратичная форма поверхности §12. Первая квадратичная форма поверхности
- •§13. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линий на поверхности
- •§14. Индикатриса Дюпена
- •Лекция 5. Понятие внутренней геометрии поверхностей §15. Главные направления на поверхности. Полная и средняя кривизна поверхности. Формула Эйлера
- •§16. Внутренняя геометрия поверхности
- •Раздел IX. Основания геометрии
- •Лекция 1. Род структур. Основные математические структуры курса геометрии §1. Род структур
- •§2. Основные математические структуры курса геометрии
- •Лекция 2. Теория рода структур. Модель системы аксиом. Основные свойства системы аксиом §3. Теория рода структур
- •§4. Модель системы аксиом
- •§5. Основные свойства системы аксиом
- •Лекция 3. Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида. Проблема пятого постулата и ее решение §6. Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида
- •Лекция 4. Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии §7. Обзор аксиоматики Гильберта евклидовой геометрии
- •I. Аксиомы принадлежности.
- •II. Аксиомы порядка.
- •III. Аксиомы конгруэнтности.
- •IV. Аксиомы непрерывности.
- •Лекция 5. Аксиоматика плоскости Лобачевского. Элементарные теоремы планиметрии Лобачевского §8. Независимость аксиомы параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии
- •§9. Элементарные теоремы геометрии Лобачевского
- •§10. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского
- •Лекция 6. Определение длины отрезка. Понятие площади плоской фигуры.
- •§11. Длина отрезка как результат процесса измерения
- •§12. Определение длины отрезка на основе расстояния между точками
- •§13. Аксиоматическое определение длины отрезка
- •§14. Площадь многоугольной фигуры
- •§15. Расширение класса квадрируемых фигур
- •Лекция 7. Величина и её измерение §16. Измерение объемов многогранных тел
- •§17. Расширение класса кубируемых фигур
- •§18. Понятие величины и её измерение
- •Литература
§10. Кривые на поверхности
Пусть
гладкая поверхность задана уравнением
.
Если
и
задать как функции от параметра
,
который пробегает некоторый промежуток
так, что
,
функции
и
имеют непрерывные производные до порядка
включительно, а производные
не обращаются в нуль одновременно ни в
одной точке из
,
то будем иметь на поверхности гладкую
линию, задаваемую уравнением
.
Равенства
называютсявнутренними
уравнениями линии на поверхности.
Касательный
вектор линии на поверхности в точке
:
.
В
частности, если положить
,
то получим гладкую линию на поверхности,
которая называется
линией.
Вектор
является касательным к
линии
в точке
.
Аналогично,
при
имеем
линию,
касательный вектор которой в точке
.
и
линии
называюткоординатными
линиями.
Через каждую точку гладкой поверхности
проходит в точности по одной линии из
каждого семейства координатных линий.
§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательный
вектор
гладкой линии на гладкой поверхности
в точке
параллелен плоскости
,
а значит, касательная к линии в точке
лежит в этой плоскости. Более того, имеет
место
Т
е о р е м а. Любая
прямая
плоскости
является касательной к некоторой линии
на поверхности в точке
.
Плоскость
,
в которой лежат касательные ко всем
гладким линиям на гладкой поверхности,
проходящим через точку
,
называется касательной
плоскостью к поверхности в точке
.Эта
плоскость определяется точкой
и
векторами
.
Нормалью
к гладкой поверхности в точке
называется прямая, проходящая через
точку
перпендикулярно касательной плоскости.
Нормаль
к поверхности определяется точкой
и вектором
.
Несложно показать, что при замене
криволинейных координат, получим вектор,
коллинеарный вектору
.
Это значит, что направление нормали к
поверхности в точке, а значит, нормаль
и касательная плоскость не зависят от
выбора криволинейных координат,
определяются только геометрической
формой поверхности.
Лекция 4. Первая и вторая квадратичная форма поверхности §12. Первая квадратичная форма поверхности
Смещая
по гладкой поверхности
вдоль какой-либо кривой
из точки
в бесконечно близкую точку
имеем
,
где
.
Тогда
.
Векторы
,
а следовательно, и их скалярные
произведения суть функции от
и
и зависят лишь от выбора точки
.
Введем для скалярных произведений
обозначения:
.
Имеем
.
Правая часть этой формулы является
квадратичной формой по отношению к
дифференциалам
.
Квадратичная
форма
положительно определенная и называетсяпервой
квадратичной формой гладкой поверхности
или её линейным
элементом.
Из
принятых обозначений следует, что
.
Кроме того, применяя тождество Лагранжа,
получим
,
поэтому
.
Если
задана первая квадратичная форма
поверхности, другими словами, заданы
функции
,
то хотя бы мы ничего больше не знали о
поверхности (ни её формы, ни её уравнения
и др.), мы можем вычислять длины кривых
на поверхности, углы между ними и площади
областей поверхности.
1. Длина
дуги находится по формуле
.
Отсюда
.
Так как
,
то получаемформулу
для вычисления длины дуги
.
При этом
являются функциями от
и
,
а те в свою очередь функциями от
,
то есть под знаком интеграла стоит
функция от
.
2. Углом
между пересекающимися кривыми
называется угол между их касательными
в точке пересечения. Если
– касательные векторы к линиям в точке
(символы
и
обозначают дифференцирование вдоль
рассматриваемых линий), то угол
можно найти из условия
.
Получаем
,
где
находятся из уравнений
,
из уравнений
,
значения всех функций вычисляются в
точке
пересечения кривых.
В
частности, для координатных линий
получаем
.
Таким образом, координатная сеть является
ортогональной тогда и только тогда,
когда
.
3. Для
площади элементарной гладкой поверхности,
заданной векторной функцией
с областью определения
,
справедлива формула
.