§17. Расширение класса кубируемых фигур

Пусть – множество всех фигур в пространстве, обладающих следующим свойством:

для любой фигуры и для любого числанайдутся такие два многогранных тела, чтои.

Из определения множества следует, что существуют точные грании, называемые соответственновнутренней и внешней жордановой мерой фигуры . Имеем:

.

Поскольку – произвольное положительное число, то. Числоназываютобъемом фигуры , а фигурукубируемой.

Тем самым определено отображение , удовлетворяющее аксиомам

V1. ;

V2. ;

V3. , где– куб, ребром которого является единичный отрезок.

По аналогии с теорией площадей, можно поставить следующий вопрос: всякие ли два равновеликих многогранных тела равносоставлены?

Решение этого вопроса сводится к решению III проблемы Гильберта: любые ли две пирамиды с конгруэнтными основаниями и конгруэнтными высотами равносоставлены?

Отрицательное решение этой проблемы дано немецким математиком Деном (1900 г.). Им введены необходимые условия равносоставленности многогранных тел. В 1965 году французский математик Сидлер доказал, что эти условия Дена являются также и достаточными.

Т е о р е м а. Два многогранных тела с двугранными углами ,, (,) равносоставлены тогда и только тогда, когда существуют такие целые положительные числа,и такое целое число, что.

В 1901 году Ден доказал, что равновеликие куб и правильный тетраэдр не равносоставлены.

§18. Понятие величины и её измерение

Понятие «величина», как математическое понятие, является обобщением более конкретных понятий: длина, площадь, объем и т. п. Эти первоначальные понятия связаны с определенным способом сравнения каких-либо объектов.

На множестве M всех отрезков плоскости определено отношение конгруэнтности, которое является отношением эквивалентности. Каждый элемент фактормножествапредставляет собой множество всех попарно конгруэнтных отрезков. Если элемент фактормножества содержит отрезок, то обозначим его. Таким образом,.

Аналогично, отношения равновеликости на множестве M всех многоугольных фигур плоскости ина множестве M всех многогранных тел пространства являются отношениями эквивалентности, и мы имеем фактормножестваи.

При выбранной единице измерения, конгруэнтные отрезки имеют одну и ту же длину, равновеликие многоугольные фигуры одну и ту же площадь, а равновеликие многогранные тела один и тот же объем. Это наводит на мысль отождествить определенные длины с определенными классами эквивалентности фактормножества , определенные площади с определенными элементами фактормножества, определенные объемы с определенными элементами множества.

Таким образом, фактормножество – это система величин – длин, фактормножество– система величин – площадей, фактормножество– система величин – объемов.

Что же общего между системами этих величин? Что понимать под измерением этих величин?

На множестве можно определить отношение частичной упорядоченности. Пусть. Откладывая на произвольном лучеотрезкии, получим один и только один из трех случаев:

– , следовательно, и;

– , тогда скажем, что и;

– , в этом случае скажем, что и.

Таким образом, имеем на множестве бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Для любых двух элементов изимеет место одно и только одно из трех соотношений:. То есть множествоявляется упорядоченным.

Для элементов множества определяется операция сложения:, где– сумма отрезкови, принадлежащих соответственно классами. При этом выполняется коммутативность и ассоциативность сложения. Таким образом, множествостановится упорядоченной коммутативной полугруппой.

Если , то можно рассматривать разностькак класс, определяемый отрезком, конгруэнтным разности отрезкови.

Можно доказать, что операция сложения и отношение порядка на множестве обладают свойствами:

1) (монотонность сложения);

2) ;

3) , гдеобозначает сумму изслагаемых(возможность деления);

4) (аксиома Евдокса или Архимеда);

5) Если бесконечные последовательности обладают тем свойством, что, то существует единственный элемент, такой что(аксиома Кантора).

Доказательство свойств 1)-5) определяется аксиоматикой построения геометрии.

Аналогичные наблюдения можно провести для множества площадей или объемов. В результате можно дать общее понятие величины.

Системой положительных скалярных величин называется упорядоченная коммутативная полугруппа , для которой операция сложения и отношение порядка удовлетворяют аксиомам:

1) (монотонность сложения;

2) ;

3) , гдеобозначает сумму изслагаемых(возможность деления);

4) (аксиома Евдокса или аксиома Архимеда);

5) Если бесконечные последовательности обладают тем свойством, что, то существует единственный элемент(аксиома Кантора).

Каждый элемент системы положительных скалярных величин называется положительной скалярной величиной.

Если , то говорят, чтовеличины иоднородные.

Можно проверить, что множество положительных действительных чисел является примером системы положительных скалярных величин.

Пусть – система положительных скалярных величин. Измерением величин изназывается изоморфное отображение. При этом элементназываетсяединицей измерения, число называется мерой (числовым значением) величиныпри единице измерения.

Можно доказать, что для любой системы положительных скалярных величин при произвольно выбранной единице измерениясуществует и притом единственное измерение величин из.

З а м е ч а н и е 1. Кроме системы положительных скалярных величин иногда приходится рассматривать систему неотрицательных скалярных величин (в этом случае полугруппа содержит нейтральный элемент (нуль) и в аксиомы 1)-5) вносятся очевидные уточнения). Примером системы неотрицательных скалярных величин является множествонеотрицательных чисел.

З а м е ч а н и е 2. Направленные отрезки на прямой, ориентированные углы на плоскости, и т.п., приводят к понятию системы скалярных величин. Так называется упорядоченная коммутативная группа , которая удовлетворяет аксиоме 1) при любом, где 0 – нейтральный элемент группы, аксиомам 2), 3), аксиоме 4) для любыхи аксиоме 5) при любом.

Например, само множество действительных чисел является системой скалярных величин.

З а м е ч а н и е 3. Иногда в математике и её приложениях рассматривают систему векторных величин – векторное пространство над некоторым полем . Векторные величины образуют коммутативную группу относительно сложения, но эта группа не является упорядоченной.