Лекция 5. Аксиоматика плоскости Лобачевского. Элементарные теоремы планиметрии Лобачевского §8. Независимость аксиомы параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии

Чтобы доказать независимость аксиомы 5.1 параллельных от аксиом абсолютной геометрии, достаточно показать непротиворечивость системы аксиом

,

где −аксиома Лобачевского – отрицание аксиомы параллельных.

: Через точку вне прямой проходят, по крайней мере, две прямые, не пересекающие данную прямую.

Построим модель Кэли-Клейна системы аксиом .

Пусть ω – окружность с центром , радиуса,– круг с границей ω,множество внутренних точек круга.

Неевклидовой точкой назовем любую точку множества;неевклидовой прямой – любую хорду без концов окружности ω (обозначение: , где).

Отношения «принадлежать», «лежать между» будем понимать в обычном смысле. Выполнение аксиом I – II группы легко проверить.

Наложением назовем любое Λ-преобразование множества Ω: биекцию Ω на себя, при которой внутренние точки переходят во внутренние, а граничные – в граничные, хорда окружности ω переходит в хорду этой же окружности так, что сохраняется сложное отношение четырех точек хорды: , где

.

Примерами Λ-преобразований являются сужения на множестве Ω движений плоскости, переводящих точку в себя. К ним, в частности, относятся тождественное преобразование, поворот вокруг точки, симметрия относительно прямой, содержащей диаметр окружности ω.

Используя свойства Λ-преобразований, можно показать выполнение всех аксиом системы .

§9. Элементарные теоремы геометрии Лобачевского

Аксиоматика плоскости Лобачевского получается присоединением к аксиомам абсолютной геометрии аксиомы Лобачевского. Таким образом, все теоремы о треугольниках и четырехугольниках, которые доказываются в абсолютной геометрии, имеют место и в геометрии Лобачевского. Однако в плоскости Лобачевского у треугольников и четырехугольников есть ряд специфических свойств.

Т е о р е м а. Сумма углов любого треугольника меньше двух прямых углов.

Т е о р е м а. Сумма углов треугольника не постоянна, то есть не одна и та же для всех треугольников.

Т е о р е м а. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше четырех прямых углов.

Т е о р е м а. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

§10. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского

По аксиоме Лобачевского, для точки не лежащей на прямойсуществуют, по крайней мере, две прямые, проходящие через точкуи не пересекающие прямую. Более того, можно доказать, что в плоскости Лобачевского через точку, не лежащую на прямой, проходит бесконечно много прямых не пересекающих эту прямую.

Чтобы ввести понятие параллельных прямых, условимся считать, что все прямые являются направленными. При обозначении прямой двумя буквами будем считать, чтопредшествуети что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат междуи.

О п р е д е л е н и е. Прямая называетсяпараллельной прямой , если эти прямые не имеют общих точек и для любых точекнаиналюбой внутренний луч углапересекает луч.

Т е о р е м а. (Признак параллельности прямых). Если прямые ине имеют общих точек и существуют точкинаина, что любой внутренний луч углапересекает луч, то прямаяпараллельна прямой.

Т е о р е м а. (Существование параллельных прямых). Для прямой и точки, не лежащей на ней, существует единственная прямая, проходящая через точкуи параллельная прямой.

Доказательство. 1. Существование. Рассмотрим перпендикуляр , проведенный из точкик прямой, и прямую, перпендикулярную прямой. Прямыеине пересекаются. Точки отрезкаразобъем на два классаи. Класссодержит точкиотрезка, такие, что лучпересекает луч. Класс.содержит точкиотрезка, такие, что лучне пересекает луч. Это разбиение удовлетворяет условиям предложения Дедекинда:

а) исодержат точки, отличные от и;

б) для любой точки класса, отличной от, и любой точкиклассаточкалежит между точкамии(если предположить противное:, то лучбудет внутренним для углаи будет пересекать луч, то естьдолжно принадлежать).

Итак, на множестве точек отрезка имеем дедекиндово сечение. Пусть точкапроизводит это сечение. То есть любая точка, лежащая между точкамии, принадлежит классу, а любая точка, лежащая между точкамии, принадлежит классу.

Покажем, что точка принадлежит классу.

Предположим, что принадлежит классу. Тогда лучпересекает лучв некоторой точке. Выберем на лучеточкутакую, что . Лучпересекает луч, следовательно, точкапересечения отрезкаи лучапринадлежит классу. Но так как лучвнутренний для угла , то точкалежит междуии, значит, по предложению Дедекинда принадлежит классу. Пришли к противоречию.

Таким образом, точка принадлежит классу.

Возьмем на прямой точкутакую, что. Тогда по признаку параллельных прямых получаем, чтопараллельна прямой.

2. Единственность. Пусть – другая прямая, проходящая через точкуи параллельная прямой.

По определению параллельных прямых внутренние лучи углов ипересекают луч, поэтому лучиилежат в одной полуплоскости, определяемой прямой. Отсюда, либо луч– внутренний луч угла, либо луч– внутренний луч угла. Но тогда одна из прямыхилипересекает прямую, что противоречит определению параллельных прямых. Отсюда следует единственность прямой. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что через точку , не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная прямой, и единственная прямая, параллельная прямой. При этом углы, образуемые этими прямыми с перпендикуляромк прямой, острые, а значит прямыеиразличные.

Итак, через каждую точку , не лежащую на прямой, проходят две прямые, параллельные прямойв двух различных направлениях.

Несложно показать, что углы, образуемые этими прямыми с перпендикуляром к прямой, равны. Каждый из этих углов называетсяуглом параллельности в точке относительно прямой .

О п р е д е л е н и е. Две прямые на плоскости Лобачевского называются расходящимися или сверхпараллельными, если они не пересекаются и не параллельны.

Таким образом, на плоскости Лобачевского две прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо расходятся.

Л е м м а. Если прямая параллельна прямой, то существует ось симметрии этих прямых.

Т е о р е м а. Если прямая параллельна прямой, то прямаяпараллельна прямой.

Т е о р е м а. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

На плоскости Лобачевского можно рассмотреть три типа пучков:

− пучок пересекающихся прямых – множество всех прямых плоскости, проходящих через одну точку, которая называется центром пучка;

− пучок расходящихся прямых – множество всех прямых плоскости, перпендикулярных к одной прямой, которая называется базой пучка;

− пучок параллельных прямых – множество всех направленных прямых, параллельных некоторой направленной прямой.

Можно доказать, что

− для двух данных прямых существует единственный пучок, которому они принадлежат;

− при наложении тип пучка сохраняется;

− серединные перпендикуляры к сторонам треугольника принадлежат одному пучку; для каждого из трех типов пучков существует треугольник, серединные перпендикуляры к сторонам которого принадлежат этому типу.