§5. Основные свойства системы аксиом

I. Несомненно, что интерес могут представлять те роды структур, теория которых не содержит противоречащих друг другу утверждений. В этом случае система аксиом рода структур называется непротиворечивой.

Как проверить непротиворечивость аксиоматики? Ясно, что противоречивая система аксиом не допускает никакой модели.

Существование модели системы аксиом определяет ее относительную непротиворечивость, так как если существует интерпретация системы аксиом, то вопрос о ее непротиворечивости сводится к вопросу о непротиворечивости аксиоматик тех родов, структуры которых использовались при построении этой интерпретации. Имея это в виду, в дальнейшем, в случае существования интерпретации системы аксиом, мы будем говорить, что система аксиом непротиворечива.

Из примеров §4 следует, что аксиоматики поля действительных чисел, -мерного векторного и-мерного евклидова векторного пространств, аффинного, евклидова-мерного точечного, проективного, метрического и топологического пространств непротиворечивы.

II. Пусть система аксиом рода структур непротиворечива. Возникает вопрос: «Все ли аксиомы системынеобходимы для построения теории данного рода структур, нельзя ли число этих аксиом уменьшить?».

Очевидно, это можно сделать, если какая-то аксиома зависима от остальных аксиом системы , то есть ее можно получить из остальных аксиом системы логическим путем. В этом случае аксиома выполняется, как только выполняются аксиомы системы. Следовательно, если аксиомазависима от остальных аксиом системы ∑, то система аксиом, где – отрицание аксиомы, противоречива. Таким образом, чтобы доказать независимость аксиомыот остальных аксиом системыдостаточно доказать, что система аксиомнепротиворечива.

III. Пусть – непротиворечивая система аксиом рода структур

.

Система аксиом называетсянеполной, если существует формула , удовлетворяющая условиям:

а) формула относится к данному роду структур, то есть использует символы

б) формула независима от аксиом системы ∑;

в) система аксиом непротиворечива.

Если такой формулы не существует, то система аксиомназываетсяполной.

Пусть система аксиом ∑ неполная, то есть существует формула удовлетворяющая условиям а) – в). Тогда системы аксиоминепротиворечивы. Пустьи – какие-либо интерпретации систем аксиом исоответственно. Тогдаи являются интерпретациями системы аксиом , так каки. Эти интерпретации неизоморфны, так как в одной из них выполняется аксиома, а в другой– ее отрицание.

Таким образом, если система аксиом неполная, то для нее существуют неизоморфные модели.

Следовательно, если все модели системы аксиом изоморфны, то система аксиом заведомо полная.

Однако из полноты системы аксиом не следует, что все ее модели изоморфны.

Из примеров §4 следует, что системы аксиом -мерного векторного пространства, евклидова-мерного векторного пространства, системы аксиом Вейля-мерного аффинного пространства, евклидова-мерного точечного пространства, проективного-мерного пространства являются полными (для каждого пространства все модели изоморфны арифметической модели, а значит, изоморфны между собой).

Системы аксиом векторного и евклидова векторного пространства являются примерами неполных систем, так как аксиома 9 о существовании базиса из векторов относится к данным родам структур, не зависит от аксиом 1-8 и система аксиом 1-9 непротиворечива.

Система аксиом метрического пространства не является полной. Например, формула:

не зависит от аксиом 1-3 метрического пространства и составляет с ними непротиворечивую систему аксиом.

Не является полной и система аксиом топологического пространства. Например, аксиома «,– одноэлементное множество» принадлежит тому же роду, не является следствием аксиом 1-3 топологического пространства и составляет с ними непротиворечивую систему аксиом (дискретная топология доказывает это).

Современная математика предпочитает развивать неполные аксиоматики, так как теория T неполной аксиоматики входит по крайней мере в две теорииT′ и Т′′ аксиоматик исоответственно.

Однако имеют свои преимущества и полные системы аксиом. Если все модели полной модели аксиом изоморфны, то возможно модельное изучение. Это значит, что если утверждение верно в какой-либо модели, то оно верно и в теории самой аксиоматики.