Перечень задач Математический анализ

1. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми

.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной криыми

.

3. Вычислить интеграл

4. Исследовать на экстремум функцию .

5. Найти область сходимости степенного ряда

.

6. Найти сумму ряда .

7. Вычислить интеграл где- окружность: а);

б) .

7. Функцию разложить в ряд Лорана в кольце

Геометрия и алгебра

1. Решите матричным методом систему линейных уравнений

2. Пользуясь схемой Горнера разложить многочлен f(x) по степеням x-5 и вычислите f (b), если: f (x) = x⁴ – 3x³ + 6x² – 10x + 16, b = 5;

3. Найдите разложение вектора по векторами :

(4, – 2), (3,5), (1, – 7);

4. Докажите, что фигура, ограниченная прямыми x– 3y + 1 = 0,

x – 3y + 12 = 0, 3x + y – 1 = 0, 3x + y + 10 = 0, – квадрат.

Вычислите его площадь.

4. Найдите точку, симметричную точке P (6, – 5, 5) относительно плоскости

2x – 3y + z – 4 = 0.

4. Исследуйте, являются ли данные векторы 1, sin² x, cos² x линейно зависимыми.

В случае утвердительного ответа найдите нетривиальную линейную комбинацию, равную 0.

4. Линейный оператор f в базисе е_1, е₂ имеет матрицу .

Найдите его матрицу в базисе а₁ = 2е₁- е₂, а₂ = е₁+ 2е₂.

4. Убедитесь, что векторы а₁, а₂ ортогональны, и дополните систему а₁, а₂

до ортогонального базиса, если:

а₁ (1, – 2, 2, – 3), а₂ (2, – 3, 2, 4)

4. Найдите расстояние между параллельными плоскостями:

и

4. Найдите базис ядра линейного оператора пространства, заданного в некотором базисе матрицейА:

А =

Теория вероятностей и математическая статистика

1. В коробке 6 деталей, причём 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 детали. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных деталей окажутся: а) одна окрашенная; б) 2 окрашенные; в) хотя бы одна окрашенная деталь.

2. Произведено 4 независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.

3. Имеются 2 урны, в одной находятся 2 черных и 2 белых шара, а в другой – 5 белых и 1 черный шар. Из взятой наудачу урны извлечен белый шар. Какова вероятность, что шар извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров?

4. На отрезок АВ длины 5 наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что 3 точки будут находится от точки А на расстоянии, меньшем 1, а одна – на расстоянии, не меньшем 1.

5. На отрезке длиной 6 наудачу выбраны 2 точки. Найти вероятность, что сумма расстояний до левого конца превзойдет 4.

6. В партии из 5 деталей имеются 2 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить ряд распределения, найти математическое ожидание и дисперсию числа стандартных деталей среди отобранных.

7. Случайная величина Х имеет плотность распределения

.

Найти параметр С, функцию распределения и математическое ожидание случайной величины Х.