Решение типового примера

Пример 9.1.Найти частные производные первого и второго порядка функции.

Решение. Найдем производные первого порядка.

При нахождении производной по переменной , переменнаясчитается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, следовательно, производная по переменнойот первого слагаемого заданной функции будет равна:. Так как переменнаясчитается константой, то иявляется константой и его производная будет равна нулю:. Таким образом, частная производная заданной функции по переменнойравна:

.

При нахождении производной по переменной , переменнаясчитается константой, тогда в первом слагаемом за знак производной вынесется:. Частная производная по переменнойвторого слагаемого. Тогда частная производная заданной функции по переменнойравна:

.

Находим частные производные второго порядка.Для наглядности перепишем уже найденные частные производные первого порядка:

,

.

Для нахождения второй частной производной по переменной нужно первую производнуюеще раз продифференцировать по переменной:

.

Аналогично, чтобы найти вторую частную производную по переменной , дифференцируемснова по переменной:

.

Найдем смешанные производные и. Для того, чтобы найтиберем частную производнуюи дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по переменной:

.

Для нахождения частную производнуюдифференцируем по переменной:

.

Так как =, то достаточно найти любую из смешанных производных.

Задачи контрольной работы

В заданиях 9.1.1-9.1.20 найти для заданных функций частные производные первого и второго порядков.

9.1.1. . 9.1.2. .

9.1.3. . 9.1.4. .

9.1.5. . 9.1.6. .

9.1.7. . 9.1.8. .

9.1.9. . 9.1.10. .

9.1.11. . 9.1.12. .

9.1.13. . 9.1.14. .

9.1.15. . 9.1.16. .

9.1.17. . 9.1.18. .

9.1.19. . 9.1.20. .

Производная по направлению

Программные вопросы

1. Определение производной по направлению вектора.

2. Связь производной по направлению с частными производными.

3. Формула для нахождения производной функции в заданной точке по направлению вектора.

Решение типового примера

Пример 9.2.Найти производную от функциив точкепо направлению вектора.

Решение. Производную от функции в заданной точкепо направлению вектораможно найти по формуле:

,

где ,,- направляющие косинусы вектора, которые вычисляем по формулам:

; ;.

Вычислим длину вектора :

.

Следовательно, направляющие косинусы будут равны:

; ;.

Далее находим все частные производные первого порядка от заданной функции :

; ;.

Вычислим значения этих частных производных в точке :

,

,

.

Затем подставим полученные значения в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:

.

Ответ. Производная от функции в точке по направлению вектора равна .

Задачи контрольной работы

В заданиях 9.2.1-9.2.20 найти производную от функции в точкепо направлению вектора:

9.2.1. , , .

9.2.2. , , .

9.2.3. , , .

9.2.4. , , .

9.2.5. , , .

9.2.6. , , .

9.2.7. , , .

9.2.8. , , .

9.2.9. , , .

9.2.10. , , .

9.2.11. , , .

9.2.12. , , .

9.2.13. , , .

9.2.14. , , .

9.2.15. , , .

9.2.16. , , .

9.2.17. , , .

9.2.18. , , .

9.2.19. , , .

9.2.20. , , .

Градиент

Программные вопросы

1. Определение градиента скалярного поля.

2. Формула для нахождения градиента функции в заданной точке.

3. Свойства градиента.

Решение типового примера

Пример 9.3.Найти градиент функциив точкеи его длину.

Решение. Градиент функции в точке вычисляется по формуле:

.

Сначала найдем все частные производные первого порядка от заданной функции:

; ;.

Далее вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :

,

,

.

Подставляя найденные значения в формулу градиента, получаем:

.

Находим его длину:

.

Ответ. Градиент функции в точкеравен , длина .

Задачи контрольной работы

В заданиях 3.1-3.20 найти градиент функции в заданной точкеи его длину.

9.3.1. ,. 9. 3.2. ,.

9.3.3. ,. 9. 3.4. ,.

9.3.5. ,. 9.3.6. ,.

9.3.7. , 9.3.8. ,.

9.3.9. ,. 9.3.10. ,.

9.3.11. , . 9.3.12. ,.

9.3.13. , 9.3.14. ,.

9.3.15. , . 9.3.16. ,.

9.3.17. ,. 9.3.18. ,.

9.3.19. , . 9.3.20. ,.