Сочинение по погрешностям

Погрешности измерений.

Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Точно произвести измерение какой-либо физической величины возможно только в рамках определенной модели. В реальных же условиях всякое измерение сопровождается той или иной ошибкой или погрешностью. Погрешности или ошибки бывают систематическими или случайными.

Систематические погрешности порождаются: несовершенством приборов; не учетом различных внешних факторов влияющих на результат измерения; приближенным характером уравнений и констант и так далее. Характерной величиной систематической погрешности является то, что при любом измерении она всегда изменяет результат измерений в одну сторону, либо в большую, либо в меньшую. Систематические погрешности нельзя описать, прибегая к методам математической статистики. Их можно уменьшить путем изучение приборов, использующиеся в данной работе, и внесением определенных поправок в результаты измерений.

Случайные ошибки обусловлены неточностью отсчетов, которые возникают в результате несовершенства наших органов чувств. Обнаруживаются случайные погрешности путем повторных измерений. В отличие от систематических случайные погрешности подчиняются законам математической статистики. Теория ошибок, основанная на теории вероятностей, позволяет определить степень влияние погрешности на конечный результат измерения.

Всякий эксперимент состоит из одного или нескольких измерений. Измерения бывают прямые и косвенные. Прямое измерение – измерение той или иной величины по средству различных приборов. Косвенное измерение – величина измеряется при помощи прямых измерений величин, которые связаны с ним определенной функциональной зависимостью.

Обработка результатов измерений.

В основе теории случайных ошибок лежит три положения:

1) при измерении принимают непрерывный ряд значений;

2) при большом количестве измерений одной и той же величины ошибки разного знака встречаются одинаково часто;

3) большие по абсолютной величине ошибки встречаются реже, чем малые, то есть вероятность появление ошибки уменьшается с ростом ее величины.

Допустим, при измерении какой-либо величины получен ряд значений x₁, x₂, …, x_n, каждое из которых отличается от истинного значения x₀ на величину дельта x₀, представляющую погрешность отдельного измерения, тогда:

(1)

Суммируя почленно равенства (1), и, учтя 2-ое положение, получаем:

(2)

Из выражения (2) видно, что при большом числе измерений среднее арифметическое xср всех результатов измерений совпадает с истинным значением x₀ определяемой величины. При ограниченном числе измерений x_ср отличается от истинного значения на некоторое дельта х.

Случайные ошибки, есть не что иное, как случайные события по теории вероятностей. Рассматривая случайные события, Гаусс установил нормальный закон распределение случайной величины (закон распределения случайной величины - соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями), который применим и при наличии случайных ошибок дельта xi.

(3)

Где f(дельта хi) – вероятность отклонения случайной величины х от ее наиболее вероятного значения хср. Параметр сигма в формуле (3) называется стандартной ошибкой (стандартная ошибка – величина характеризующая  стандартное отклонение выборочного среднего, рассчитанное по выборке размера  из генеральной совокупности), а ее квадрат сигма2 – дисперсией измерения (дисперсия измерения - мера разброса данного измерения, то есть её отклонение от среднего значения измерения). Рассмотрим график f(дельтах) для разных значений.

2 ГРАФИКА.

Опираясь на данные графики, можно сделать следующий вывод: с ростом сигма вероятность случайной ошибки уменьшается, то есть наиболее вероятные ошибки будут близки к нулю. Это означает, что большие ошибки менее вероятны. Дисперсия характеризует быстроту уменьшения вероятности появления ошибки дельта хi.

При ограниченном небольшом числе измерений дисперсия определяется по приближенной формуле.

Формула

Где

(4)

S представляет собой среднюю квадратичную ошибку (средняя квадратичная ошибка – показатель рассеивания случайной величины относительно ее среднего значения).

По теории вероятностей следует, что случайная величина, распределенная по закону, практически отклоняется от среднего значения на величину, не превышающую утроенного среднего квадратичного значения измеряемой величины.

ГРАФИК.

Опираясь на график можно сделать следующий вывод: чем больше отклонение, тем меньше вероятность его появление, так же можно добавить, что вероятность выпадение той или иной ошибки удобно отслеживать, опираясь на стандартную ошибку. Таким образом , удобство применения стандартной ошибки в качестве основного выражения погрешности измерения заключается в том, что ей соответствует математически обоснованная определенная вероятность, называемая доверительной вероятностью (надежностью), а соответствующий ей интервал называется доверительным интервалом (доверительный интервал - интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью).

Из-за ограниченности времени в лабораторной практике экспериментатор не в состоянии провести большое количество измерений. Он установил связь абсолютной ошибки дельта х с коэффициентом Стьюдента t альфа,n (коэффициент Стьюдента - это квантиль распределения случайной величины , где  распределена по стандартному нормальному закону, а  -- по хи-квадрат (независимо от ) с  степенями свободы. В свою очередь, хи-квадрат -- это закон распределения суммы квадратов  независимых случайных величин, каждая из которых, в свою очередь, тоже распределена по стандартному нормальному закону.) и средней квадратичной ошибкой определяемая выражением Sxср

(5)

Подставив (4) в (5) получим

Коэффициент Стьюдента зависит от числа проведенных измерений и доверительной вероятности. Существует не мало таблиц в которых выведено значение коэффициента Стьюдента для определенной доверительной вероятности и числа измерений.

Таким образом, в зависимости от эксперимента, мы выбираем необходимую доверительную вероятность и по количеству измерений рассчитываем коэффициент Стьюдента, на основе которого по формуле (6), рассчитываем абсолютную погрешность. Результат записывают в следующем виде:…

Однако абсолютная ошибка не может нести в себе достаточной информации о точности эксперимента. Для этого вводится понятие относительной ошибки. Относительной ошибкой называют отношение абсолютной ошибки к среднему арифметическому результату измерения.

Формула.

Относительную ошибку принято выражать в процентах.

Формула.

Чем меньше относительная ошибка, чем выше точность измерения.

Теория Стьюдента позволяет нам с некоторой точки зрения уменьшить количество времени на проведение эксперимента за счет уменьшение числа измерений. Ошибку можно рассчитать и для двух или трех измерений.

Обработка результатов косвенных измерений.

Когда величину нельзя измерить прямыми измерениями, ее измеряют косвенно.

Пусть нам необходимо вычислить некоторую величину N, которая связана функциональной зависимостью с некоторой величиной х, которую мы можем вычислить прямым измерением, то есть N=f(x)

В данном случае абсолютная погрешность дельта Nср может быть найдена по правилам дифференцирования, заменив знак дифференцирования d знаком ошибки дельта и расставив знаки таким образом, чтобы величина ошибки была максимальной. То есть:

2 формулы

Относительная ошибка будет равна полному дифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых величин. При вычислении надо брать сумму абсолютных значений дифференциалов всех членов логарифма (все частные ошибки складываются) с заменой знаков d знаком дельта.

формула

Графический метод представления результатов опыта.

При обработке большого числа измерений очень часто пользуются графическим изображением функциональных зависимостей между исследуемыми величинами. На практике обычно используют прямоугольную систему координат, на оси ординат принято откладывать переменную величину, которая является объектом исследования, на оси абсцисс показывают значение независимых переменных величин.

При построении графиков необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. Деление по осям должно быть кратно целым единицам, десяткам сотням и т.д. Если величина представлена в виде десятичной дроби, то ее представляют в виде произведения целого числа на десять или сто в отрицательной степени.

2. Масштабы по осям координат не обязательно должны быть одинаковыми, однако они не должны превышать возможные в эксперименте ошибки.

3. Помечать нуль в начале координат не обязательно. Выбирать начало координат и масштабы по осям координат нужно выбирать таким образом, чтобы вся площадь, ограниченная осями координат, была заполнена графиком.

4. При построении графика не следует соединять точки ломаными линиями, так как в большинстве случаев физические процессы протекают плавно. Разброс точек возникает в результате неточности измерений. Поэтому лучше всего проводить график в качестве кривой, при этом необходимо стараться захватить ей как можно больше точек или же проводить ее как можно ближе к ним.