Геометрический смысл производной

Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :

Замечание

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Пример

Задание. На рисунке №1 изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найти значение .

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что

Найдем угол . Рассмотрим треугольник - прямоугольный, равнобедренный. Тогда, а значит

А отсюда следует, что

Ответ. 

Понятие производной Пусть задана некоторая функция . Возьмем какое-нибудь значение из области определения этой функции: . Соответствующее значение функции в этой точке будет равно .

Приращением аргумента называется разность между двумя значениями аргумента: "новым" и "старым".

Обычно обозначается как .

Приращением функции в точке , соответствующее приращению аргумента , называется величина:

Производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента  :  при , если он существует, то есть:

или

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Функция имеет производную на интервале или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная существует в каждой точке этого интервала.

Функция имеет в точке бесконечную производную, если в этой точке .

Теорема

(О непрерывности функции в точке)

Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.

Определение

Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

где - число, не зависящее от , - б.м. функция при .

Теорема

(О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)

Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы имела в этой точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке - понятия равносильные.

Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных б.М. Функций

Б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при , если 

Обозначают: при .

Пример

Задание. Проверить, являются ли функции и эквивалентными бесконечно малыми при .

Решение. Проверим вначале, что данные функции являются бесконечно малыми функциями в точке:

Найдем предел отношения этих функций:

Ответ. Заданные функции и являются эквивалентными бесконечно малыми.

Предельные равенства для эквивалентных б.М. Функций

Теорема

Предел отношения двух б.м. функций и при равен пределу отношения эквивалентных им б.м. функций и при , то есть верны предельные равенства:

Пример

Задание. Найти предел 

Решение. При : 

Ответ. 

Теорема

Разность двух эквивалентных б.м. функций есть б.м. функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Верно и обратное утверждение.

Теорема

Сумма конечного числа б.м. функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Слагаемое, которое эквивалентно сумме б.м. функций, называется главной частью указанной суммы.

Замена суммы б.м. функций ее главной частью называется отбрасыванием б.м. высшего порядка.

Пример

Задание. Найти предел 

Решение. При : , 

Ответ.