Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема. Ролля. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g(a)=g(b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная g обращается в нуль g(c)=0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на [a,b], то она имеет на этом отрезке наибольшее (M) и наименьшее значение m. Пусть g(c) - наибольшее значение.

Отсюда

g(c+x)  g(c)

x

 0, x > 0

g(c+x)  g(c)

x

 0, x < 0

Переходим к пределу и получаем одновременно g(с)  0 и g(с)  0, следовательно, g(с)=0.

Пример функции, для которой не выполняется условие теоремы, поэтому производная внутри отрезка в 0 не обращается

y=1(x²)^1/3

Теорема. Лагранжа. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство

g(b)g(a)=g(c)(ba)
Доказательство. Применим теорему Ролля к функции

g(x)g(a)(xa)Q,
где

Q=(g(b)g(a))/(ba)
Теорема. Коши. Если функции g(x) и h(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем h(x)  0 внутри отрезка [a,b], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство

g(b)g(a)
h(b)h(a)

=

g(c)
h(c)
Доказательство. Применим теорему Ролля к функции

g(x)g(a)(h(x)h(a))Q,
где

Q=(g(b)g(a))/(h(b)h(a))
Теорема. Лопиталя. Пусть функции g(x) и h(x) на некотором отрезке [a,b] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке x=a, т.е. g(a)=h(a)=0, тогда если существует предел отношения g(x)/h(x) при x a, то существует и

lim x a

g(x)/h(x)
причем

lim x a

g(x)/h(x)=

lim x a

g(x)/h(x)

Геометрический и механический смысл производной

Средней скоростью изменения функции при переходе независимой переменной от значения к значению называется отношение приращения функции к приращению независимой переменной, то есть

Истинной или мгновенной скоростью изменения функции при заданном значении независимой переменной называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента :