24.Интегрирование рациональных дробей

Пусть подынтегральное выражение есть рациональная дробь где и - полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Не умаляя общности, можем считать, что k < n, так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде P(x) = Q(x)R(x) + S(x) где R(x)и S(x) -полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n. Тогда

, (1.1)

а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем. Покажем на примере, как можно получить разложение (1.1). Пусть  P(x) = x⁷ + 3x⁶ + 3x⁵ – 3x₃ + 4x₂ + x -2, Q(x) = x + 3x² + x-2. Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа (решение получаем через калькулятор деления столбиком). Имеем    Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q) R(x) = x⁴ + 2x²– 4x + 7 и остаток S(x) = 9x² – 14x +12 от этого деления.  По основной теореме алгебры [6] любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде , где – корни полинома Q(x) повторенные столько раз, какова их кратность.  Пусть полином Q(x) имеет n различных корней . Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде , где - числа подлежащие определению. Если - корень кратности α, то ему в разложении на простейшие дроби соответствует α слагаемых . Если x_j- комплексный корень кратности полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число - тоже корень кратности α этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, объединяют и записывают одним слагаемым вида , если – корни кратности один. Если – корни кратности , то им соответствует слагаемых и соответствующее разложение имеет вид

.

23.Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения неизвестных коэффициентов в разложении

используется метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем:

1. правую часть записанного равенства приводим к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби, стоящей в левой части этого равенства - , в числителе левой части получим некоторый многочлен с неизвестными коэффициентами;

2. используем тот факт, что две дроби равны, когда равны их числители и знаменатели. Из того, что знаменатели левой и правой частей равенства равны, то значит, равны и числители:

3. два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной, поэтому приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной . В результате получаем систему для определения неизвестных коэффициентов.

4. Задание. Разложить рациональную дробь на простые дроби.

5. Решение. Так как корнями знаменателя являются значения , , то его можно разложить на множители следующим образом:

6. 

7. А тогда

8. 

9. Искомое разложение имеет вид:

10. 

11. Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числители:

12. 

13. 

14. Приравнивая коэффициенты, при соответствующих степенях, получаем:

15. 

16. Отсюда, искомое разложение:

17. 

18. Ответ.