9. Найти производную функции u (X, y, z) в точке m по направлению , если
u
= sin(x
+2y)
+
,
=
4
+
3
,
M(
,
,
3).
10. Вычислить поток
векторного поля
(M)
через внешнюю поверхность пирамиды,
образуемую плоскостью (p)
и координатными плоскостями, двумя
способами: а) использовав определение
потока; б) с помощью формулы Остроградского
- Гаусса, если
(M)
= x
+
( x + z )
+
( y + z )
,
(p): 3x + 3y + z = 3.
11. Вычислить
циркуляцию векторного поля
(M)
по контуру треугольника, полученного
в результате пересечения плоскости
(p):
2x
+ 2y
+ z
= 2 с координатными плоскостями, при
положительном направлении обхода
относительно нормального вектора
плоскости (p)
двумя способами:
а) использовав определение циркуляции; б) с помощью формулы Стокса, если
(M)
= (y
+ z)
+
x
+
(y
-2z)
.
12. Найти наибольшую
плотность циркуляции векторного поля
(M)
= xy
+
yz
-
x
в точке M
(1,
-2, 0).
13. Выяснить является
ли векторное поле
(M)
= x
z
+
y
-
xz
гармоническим.
Вариант № 9
1. Вычислить криволинейные интегралы:
а)
,
где
-
первая арка циклоиды
;
б)
,
где
-
дуга
окружности
;
в)
,
где
:
от точки
до
; г)
,
где
-
контур треугольника с вершинами
,
,
.
2. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом функции . Найти эту функцию. Результат проверить.
.
3. С помощью формулы
Грина вычислить интеграл
,
где
- пробегаемый в положительном направлении
контур треугольника с вершинами в точках
,
,
.
4. Вычислить поверхностный интеграл по поверхности , где - часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями: .
5. Определить массу,
распределенную по части эллиптического
параболоида
,
с плотностью
.
6. Вычислить
поверхностный интеграл:
,
где
- часть поверхности параболоида
(нормальный вектор
которой образует тупой угол с ортом
),
отсекаемая плоскостью
.
7. Вычислить с
помощью теоремы Остроградского –
Гаусса:
,
где
- сфера
.
8. Вычислить
интеграл, используя формулу Стокса:
,
где
- окружность
,
ориентированная положительно относительно
вектора
.
9. Найти производную функции u (X, y, z) в точке m по направлению , если
u
= x
y
z
- ln
(z
- 1),
=
5
+
6
+
2
,
M(1,
1, 2).
10. Вычислить поток
векторного поля
(M)
через внешнюю поверхность пирамиды,
образуемую плоскостью (p)
и координатными плоскостями, двумя
способами: а) использовав определение
потока; б) с помощью формулы Остроградского
- Гаусса, если
(M)
= (x + z)
+
(z - x)
+
(x +2y + z )
,
(p): x + y + z = 2.
11. Вычислить
циркуляцию векторного поля
(M)
по контуру треугольника, полученного
в результате пересечения плоскости
(p):
x
+ 3y
+ 2z
= 6 с координатными плоскостями, при
положительном направлении обхода
относительно нормального вектора
плоскости (p)
двумя способами:
а) использовав определение циркуляции; б) с помощью формулы Стокса, если
(M)
= (2y
-z)
+
( x
+ 2y
)
+
y
.
12. Найти наибольшую
плотность циркуляции векторного поля
(M)
= xz
+
z
+
yz
в точке M
(3,
0, 1).
13. Выяснить является
ли векторное поле
(M)
= (yz
- 2x)
+
(xz
+ 2y)
+
xy
соленоидальным.
Вариант № 10
1. Вычислить криволинейные интегралы:
а)
,
где
-
отрезок прямой от
точки
до
;
б)
,
где
-
окружность
;
в)
,
где
-
отрезок прямой от
точки
до
;
; г)
,
где
:
от
точки
до точки
.
2. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом функции . Найти эту функцию. Результат проверить. .
3. С помощью формулы
Грина вычислить интеграл
,
где
-эллипс
,
пробегаемый в положительном направлении.