практикаФНП / Занятие 25 Вычисление частных производных и дифференциала

Занятие 25

3.3.Частные производные

3.3.1.Частные производные

Результат частного дифференцирования функции нескольких переменных не зависит от порядка дифференцирования, если все производные, входящие в вычисление, непрерывны.

№3213. Найдем частные производные от следующей функции

Вычислим производные первого порядка. = , = .

Аналогично решаются №№ 3217 .3221.

Домашнее задание №№ 3214, 3222.

3.3.2.Производная в данном направлении

Если направление в пространстве характеризуется направляющими косинусами: и функция дифференцируема, то производная по направлению вычисляется по формуле .

Скорость наибольшего роста функции в данной точке по модулю и направлению определяется вектором – градиентом функции: , модуль которого равен .

№3342. Найти производную функции в точке М(1,1) в направлении , составляющим угол с положительным направлением оси .

Если , то , , и = = =

№3342. Найти модуль и направление градиента функции , где , в точке .

В соответствии с формулами = = = ,

= = = .

Осталось вычислить направляющие косинусы : = = , = = , = = ,

Аналогично решаются №№ 3342 .3347.

Домашнее задание №№ 3345, 3349.

3.4.Дифференциал функции

Если полное приращение функции от независимых переменных может быть представлено в виде , где не зависят от и , то функция называется дифференцируемой в в точке , а линейная часть приращения , равная , где , , , называется дифференциалом этой функции.

№3240. Найти дифференциал от функции , где - независимые переменные.

Вычислим дифференциал первого порядка = .

Аналогично решаются №№ 3235 .3238.

Домашнее задание №№ 3237, 3241.