практикаФНП / Занятие 24 Непрерывность функции многих переменных
.docЗанятие 24
3.2.Непрерывность функции
Функция
=
непрерывна в точке сгущения
,
если
=
,
Функция
непрерывна в данной области, если она
непрерывна в каждой точке этой области.
№3196. Найти точки разрыва функции
.
Т.к.
=
=
,
то понятно, что функция терпит разрыв
на линии
.
Действительно
=
=
.
Уточняя, можно сказать, что функция
терпит бесконечный разрыв в точке (0;0)
и устранимый разрыв в остальных точках
прямой
.
№3202(а). Показать, что функция:
=
непрерывна
по каждой переменной
и
в отдельности (при фиксированной другой
переменной), но не является непрерывной
по совокупности этих переменных.
Исследуем непрерывность по
(при фиксированной переменной
).
Если
,
то
=
=
= 0,
=
= 0,
и значит
=
.
Если
,
то
=
=
=
0,
= = 0,
и значит
=
.
Т.е. непрерывность по переменной
(при фиксированной переменной
)
доказана.
В силу симметрии задания функции можно
считать, что доказана и непрерывность
по переменной
(при фиксированной переменной
).
Для исследования непрерывности по
совокупности переменных рассмотрим
как одно из возможных направлений –
направление по лучу
.
При этом
=
=
=
= 1
0 =
.
Т.е.
нет непрерывности по совокупности
переменных.
Аналогично решаются №№ 3198, 3199.
Домашнее задание № 3194, 3195, 3202(б).