практикаФНП / Занятие 30 Замена переменных
.docЗанятие 30
3.7.Замена переменных
3.7.1. Замена переменных в выражении, содержащем обыкновенные производные
Пусть в дифференциальном выражении
требуется перейти к новым переменным:
- независимой переменной и
-функции, связанными с прежними
переменными
и
уравнениями
,
.
(1)
Дифференцируя уравнение (1), будем
иметь:
.
Аналогично выражаются высшие
производные
,….
В результате мы получаем
3.7.2. Замена независимых переменных в выражении, содержащем частные производные
Если в дифференциальном выражении
положить
,
,
где
и
- новые независимые переменные, то
последовательные частные производные
,
,
… определяются из следующих уравнений
,
,
и т.п.
3.7.2. Замена независимых переменных и функции в выражении, содержащем частные производные
В более общем случае, если имеем уравнения
,
,
,
где
и
- новые независимые переменные и
- новая функция, то для частных производных
,
,
… получаем такие уравнения:
+
=
,
+
=
,
и т.п.
№3434. Вводя новую переменную,
преобразовать следующее обыкновенное
дифференциальное уравнение
,
если
.
Т.к.
=
,
а
и
=
=
,
то получаем, что
=
,
или
=
=
.
Т.к.
=
и
=
=
,
то
=
,
или
=
=
Подстановка полученных результатов в
уравнение дает следующее:
+
№3450. Преобразовать к полярным
координатам
и
,
полагая
и
,
следующее уравнение
.
Выразим все элементы
уравнения через
и
:
.
Далее выполняем элементарные
алгебраические преобразования.
=
,
раскрываем скобки
=
=
.
Если теперь сократить
равные и вспомнить основное
тригонометрическое
тождество, то уравнение сократиться до
следующего
,
или, иначе,
.
№3476. Перейти к новым переменным
,
,
,
где
в
уравнении
+
=
,
если
,
,
.
Для замены
продифференцируем по
все уравнения связи:
,
,
.
Объединяя их, получаем уравнение
относительно
:
+
=
.
Из которого выражаем
:
.
Для замены
продифференцируем по
все уравнения связи:
,
,
.
Объединяя их, получаем уравнение
относительно
:
+
=
.
Из которого выражаем
:
.
Подставляем выражения для
и
в исходное выражение:
+
=
.
Преобразуем:
,
или,
+
+
= 0,
после сокращений:
+
= 0.
И , наконец,:
= 0
Аналогично решаются №№ 3435, 3451, 3459, 3474.
Домашнее задание №№ 3438, 3452, 3460, 3475.