практикаФНП / Занятие 31 Формула Тейлора

Занятие 31

3.8.Формула Тейлора

Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные все частные производные до порядка включительно, то в этой окрестности справедлива формула = + + , (1) где = .

Частный случай формулы (1) при носит название формулы Маклорена.

Аналогичные формулы имеют место для функции более чем двух переменных.

№3581. Функцию = разложить по формуле Тейлора в окрестности точки .

Для решения задачи находим производные: = = , = = , = = , = = , = = . Вычисляем значения функции и её производных в точке : = = 5, = = 0, = = 0, Значения вторых производных, которые оказались константами, уже известны, и понятно, что производные старших порядков равны нулю. Осталось записать, разложение функции окрестности точки . = = = .

№3588. Упростить выражение , считая малыми по модулю.

Раз малы по модулю, то задачу решит разложение функции = .. в окрестности точки . Находим производные (ограничиваясь вторым порядком): = , = , = , = , = , = , = , = , = . Вычисляем значения функции и её производных в точке : = 0, = = = 0, = = = 0 = = = -1. Т.о. получаем =

= .

Аналогично решаются №№ 3585, 3587.

Домашнее задание №№ 3582, 3586.