практикаФНП / Занятие 23 Предел функции многих переменных

Занятие 23

3.Функция многих переменных

3.1. Предел функции

Пусть функция = определена на множестве , имеющем точку сгущения . Говорят, что = , если для любого существует , такое, что при и , где - расстояние между точками и .

Кроме рассмотренного выше предела функция = при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам, приходится иметь дело и с пределами другого рода, получаемыми в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности, в том или ином порядке.

Первый предел называется -кратным (или двойным, тройным и т.д. - при = 2,3, ), а последний - повторным.

Выполним конкретные задания по пределам функции многих переменных.

№3181. Показать, что для функции = имеем ; , в то время как не существует. Убедимся, что повторные пределы принимают указанные значения: = = = = 1 = = = = -1. Т.о. убедились, что действительно, оба повторных предела существуют, конечны, не равны друг другу. Осталось убедиться, что не существует двойной предел. Для этого найдем его при двух разных вариантах стремления точки к предельной (0,0). = = . Т.к. . то действительно не существует.

№3184(г). Найти и , если . Ищем первый повторный предел. = = = 0. Ищем второй повторный предел. = = = = = = 1

№3185 Найти двойной предел . Чтобы найти этот предел, произведем замену переменных: , , = = = = =0 как произведение бесконечно малой на ограниченную.

Аналогично решаются №№ 3182, 3184(в), 3187, 3189, 3191.

Домашнее задание №№ 3183, 3184(б), 3186, 3188, 3190, 3192.