практикаФНП / Занятие 26 Дифференцируемость функции многих переменных
.docЗанятие 26
3.4.Дифференцируемость функции
№3251. Показать, что функция
=
непрерывна в точке (0,0), имеет в
этой точке обе частные производные
и
,
однако не является дифференцируемой в
точке (0,0).
Убедимся в непрерывности
в точке (0,0).
=
= 0,
=
= 0, т.е.
=
,
и значит функция непрерывна
в точке (0,0).
Проверим наличие частных производных
в точке (0,0):
=
=
=
= 0,
=
=
=
= 0,
- значит, функция имеет
частные производные в точке (0,0).
Проверим дифференцируемость функции
в точке (0,0),
т.е. проверим
выполнение условия
=
+
+
или, что то же самое, проверим
равенство нулю предела
=
=
=
=
(найдем предел при стремлении
точки
к точке по лучу
)
=
=
.
Значит, действительно, функция
не является дифференцируемой.
Аналогично решается № 3252.
Домашнее задание № 3253.