практикаФНП / Занятие 29 Производная и дифференциал функции заданной неявно

Занятие 29

3.7.Производные и дифференциалы функции, заданной неявно

3.7.1. Теорема существования

Если: 1) функция обращается в нуль в некоторой точке ; 2) и определены и непрерывны в окрестности точки ; 3) , то в некоторой достаточно малой окрестности точки существует единственная однозначная непрерывная функция , удовлетворяющая уравнению и такая, что .

3.7.2. Дифференцируемость неявной функции

Если, сверх того, 4) функция дифференцируема в окрестности точки ; , то функция дифференцируема в окрестности точки и её производные и могут быть найдены из уравнений , . (1) Если функция дифференцируема достаточное число раз, то последовательным дифференцированием равенств (1) вычисляются также производные высших порядков от функции .

3.7.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений

Пусть функции удовлетворяют следующим условиям: 1) обращаются в нуль в точке ; 2) дифференцируемы в окрестности ; 3) функциональный определитель в точке .

В таком случае система уравнений (2) однозначно определяет в некоторой окрестности точки систему дифференцируемых функций , удовлетворяющих уравнениям (3) и начальным условиям .

Дифференциалы этих неявных функций могут быть найдены из системы +=0 .

3.7.3. Решение задач на поиск производных и дифференциалов неявных функции

№3371. Найти и для функции , определяемой следующим уравнением .

Дифференцируем по левую и правую части уравнения. (3) Полученное уравнение можно преобразовать. (4) Для поиска второй производной дифференцируем уравнение (3). Преобразовывая и подставляя в это уравнение выражение (4) получаем:

№3381. Найти . и , при , , если .

Дифференцируем заданное уравнение: . Преобразуем его: (4) Подставляем заданные значения , : . И получаем . Для вычисления второй производной работаем с уравнением (4) так же, как работали с исходным уравнением. (5) . Для вычисления третьей производной работаем с уравнением (5) так же, как работали с исходным уравнением.

№3391. Найти , , если .

Дифференцируем заданное уравнение: (6) Откуда получаем . Дифференцируем уравнение (6): Из полученного уравнения можно выразить .

№3408(а). Найти и в точке , , если .

Продифференцируем по первые два уравнения системы: . После подстановки значений , получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. . Её решение . Дифференцирование по третьего уравнения заданной системы даёт: . Подставляя в полученное уравнение уже найденные значения и , вычисляем .

Для вычисления выполняем аналогичные операции.

Продифференцируем по первые два уравнения системы: . После подстановки значений , получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. . Её решение . Дифференцирование по третьего уравнения заданной системы даёт: . Подставляя в полученное уравнение уже найденные значения и , вычисляем .

Аналогично решаются №№ 3372, 3388, 3390, 3408(б).

Домашнее задание №№ 3375, 3379, 3392, 3408(в).