практикаФНП / Занятие 32 Экстремум Функции

Занятие 32

3.9. Экстремум функции

3.9.1. Определение экстремума функции

Пусть функция = определена и непрерывна в окрестности точки . Если или , или при , то говорят, что функция имеет экстремум ( соответственно максимум или минимум) в точке .

3.9.2. Необходимые условия экстремума функции

Дифференцируемая функция может достигать экстремума лишь в стационарной в точке , т.е. такой , что . Следовательно, точки экстремума функции удовлетворяют системе уравнений = 0 .

3.9.3. Достаточные условия экстремума функции

Пусть функция в точке , имеет6 а) максимум, если , при , б) минимум, если , при . Исследование знака второго дифференциала может быть проведено путем привидения соответствующей квадратичной формы к каноническому виду.

В частности, для случая функции двух независимых переменных в стационарной точке ( при условии, что , где , , , имеем: а) минимум, если ; б) максимум, если ; в) отсутствие экстремума, если .

3.9.4. Решение задач

№3623. Исследовать на экстремум следующие функции нескольких переменных: .

Ищем точки, подозрительные на экстремум, т.е. точки, в которых первый дифференциал равен нулю.

= += = + = 0.

Что равносильно решению системы:

Получили, что первый дифференциал равен нулю на линии .

Следующий этап – проверка достаточных условий.

= = = = .

Т.о. все точки прямой являются точками минимума.

№3651. Найти экстремальные значения заданной неявно функции от переменных и .

На первом этапе решения ищем нули первого дифференциала . , Откуда . Очевидно, что в точке , , в которой .

На втором этапе решения проверим достаточные условия.

.

Откуда . Значит в точке (1,-1,-2), где , минимум функции, а в точке (1,-1,6), где , максимум функции.

Аналогично решаются №№ 3621, 3652.

Домашнее задание №№ 3622, 3653.