практикаФНП / Занятие 33 Условный и абсолютный экстремум

Занятие 33

3.10. Условный экстремум функции

Задача определения экстремума функции = при наличии ряда соотношений сводится к нахождению обычного экстремума для функции Лагранжа , где - постоянные коэффициенты. Вопрос о существовании и характере условного экстремума в простейшем случае решается на основании исследования знака второго дифференциала в стационарной точке функции при условии, что переменные связаны соотношениями .

№3654. Найти точки условного экстремума следующей функции: , если

Для решения задачи строим функцию Лагранжа . Ищем её стационарные точки (точки, в которых): ,

или . Что приводит к решению системы .

Из первых двух уравнений выражаем , получаем и подставляем в третье уравнение . Его решение . Тогда , Теперь, когда стационарная точка найдена, проверяем достаточные условия: уточняем знак второго дифференциала при условии, что .

, с учетом условия, из которого следует, что , получаем .

Значит, найденная стационарная точка есть максимум и его значение .

3.10. Абсолютный экстремум функции

Функция = , дифференцируемая в ограниченной и замкнутой области, достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.

№3678. Определить наибольшее и наименьшее значения функции , если .

На первом этапе решения ищем стационарные точки функции . только в точке , в которой . Следовательно, есть минимум, и он принадлежит заданной области .

На втором этапе решения Исследуем поведение функции на границе области, для чего строим функцию Лагранжа: + ,и ищем её стационарные точки. Это уравнение равносильно системе , Решение которой (с учетом условия ) дает три стационарные точки: ,, ,, ,.

Вычислим значения исходной функции в этих точках:

, , . Итак, - наименьшее значение функции, а - наибольшее значение функции.

Аналогично решаются №№ 3652, 3658, 3676.

Домашнее задание №№ 3655, 3664, 3677.