Лекция 21. Многомерное евклидово пространство

21.1.Пространство Rn

21.1.1.Линейное пространство арифметических векторов

Упорядоченный набор n действительных чисел (x1; x2; : : : ; xn) = x называют а р и ф - м е т и ч е с к и м в е к т о р о м или n - м е р н ы м в е к т о р о м. Числа x1, x2, : : :, xn называются к о м п о н е н т а м и арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены операции с л о ж е н и е арифметических

векторов и у м н о ж е н и е вектора на число:

для любых x = (x1; x2; : : : ; xn), y = (y1; y2; : : : ; yn) и любого числа справедливо: x + y = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn); x = ( x1; x2; : : : ; xn):

Д/З: Опираясь на аксиомы действительных чисел 1 показать, что для любых векторов x, y и z из Rn и любых действительных чисел и справедливо:

1.x + y = y + x сложение коммутативно;

2.x + (y + z) = (x + y) + z сложение ассоциативно;

3.9 0 = (0; 0; : : : ; 0) : x + 0 = x существование нулевого вектора 0 нейтрального элемента по сложению;

4.8 x 2 Rn 9 ( x) : x + ( x) = 0 существование противоположного вектора;

5.(x + y) = x + y умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов;

6.( x) = ( )x умножение на число ассоциативно;

7.( + )x = x + x умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

8.1 x = x правило умножения на число 1.

Замечание 21.1. Обратим внимание на то, что для n-мерных векторов не определено сравнение.

Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и

умножения на число называется п р о с т р а н с т в о м а р и ф м е т и ч е с к и х в е к т о - р о в Rn.

Примером пространства R2 арифметических векторов является пространство геомет-

рических векторов на плоскости, записанных в координатной форме.

Из курса линейной алгебры известно, что если элементы некоторого множества удовле-

творяют свойствам 1-8, то это множество называется л и н е й н ы м (или в е к т о р н ы м) пространством L. Таким образом, пространство Rn линейное пространство.

Мы будем предполагать, что в рассматриваемом пространстве Rn всегда фиксирована некоторая прямоугольная система декартовых координат, т. е. в пространстве Rn îïðå- делен естественный базис e1; e2; : : : ; en: e1 = (1; 0; 0; : : : ; 0; 0), e2 = (0; 1; 0; : : : ; 0; 0), : : : ;

1Семестр 1, лекция 1.

1

en 1 = (0; 0; 0; : : : ; 1; 0), en = (0; 0; 0; : : : ; 0; 1), являющийся обобщением естественного базиса в R3, образованного векторами i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1). В этом случае

компоненты вектора x = (x1; x2; : : : ; xn) èç Rn являются к о о р д и н а т а м и вектора x в естественном базисе (e1; e2; : : : ; en):

x = (x1; x2; : : : ; xn) = x1e1 + x2e2 + : : : + xnen:

Также упорядоченный набор n действительных чисел (x1; x2; : : : ; xn) называют т о ч - к о й пространства Rn.

21.1.2. Евклидово пространство n-мерных векторов

С к а л я р н ы м п р о и з в е д е н и е м в линейном пространстве L над полем R действительных чисел называется функция (x; y), ставящая каждой паре элементов x; y 2 L единственное значение (x; y) из R и удовлетворяющая для любых x; y; z 2 L и любого

2 R следующим свойствам (аксиомам скалярного произведения):

1.(x; x) 0; (x; x) = 0 , x = 0 положительная определенность скалярного произведения;

2.(x; y) = (y; x) коммутативность или симметричность;

3.( x; y) = (x; y) однородность;

4.(x; y + z) = (x; y) + (x; z) дистрибутивность.

Скалярное произведение (x; x) называется скалярным квадратом вектора x.

Д/З: Доказать2, что в пространстве Rn скалярное произведение векторов x и y может быть введено как сумма произведений соответствующих координат:

Линейное (векторное) пространство, в котором определено скалярное произведение, называется е в к л и д о в ы м. Таким образом, векторное пространство Rn с введенным

скалярным произведением (21.1) åñòü å â ê ë è ä î â î ï ð î ñ ò ð à í ñ ò â î.

21.1.3.Нормированное пространство

Линейное пространство L называется н о р м и р о в а н н ы м, если любому его элементу x поставлено в соответствие действительное число, называемое н о р м о й и обознача- емое kxk, причем для любых x; y 2 L и любого 2 R выполнены следующие свойства (аксиомы нормы):

1.kxk 0; kxk = 0 , x = 0 положительная определенность нормы;

2.k xk = j j kxk положительная однородность;

3.kx + yk kxk + kyk полуаддитивность нормы.

2Показать, что выполняются свойства 1-4 скалярного произведения

2

В евклидовом пространстве н о р м у в е к т о р а всегда можно определить 3 как арифметический квадратный корень из скалярного квадрата вектора. По определению

p

kxk = (x; x): (21.2)

Следовательно, kxk2 = (x; x).

Мы будем считать, что в рассматриваемом евклидовом пространстве Rn норма вектора

определяется как арифметический квадратный корень из суммы квадратов координат вектора (kxk2):

v

u n

X

pu

kxk = (x; x) = t x2i : (21.3)

i=1

Для функции (21.2) первые два свойства нормы вытекают из свойств скалярного произведения (Д/З: докажите это). Чтобы доказать для функции (21.2) выполнение третьего свойства нормы нам потребуется

Лемма 21.1.1 (Неравенство Коши-Буняковского) . Для любых двух векторов x è y евклидова пространства выполняется неравенство

Доказательство. Для любых векторов x, y евклидова пространства и действительного числа в силу свойства 1 скалярного произведения справедливо неравенство

Левая часть неравенства (21.5) в силу свойств 2-4 скалярного произведения и введенного равенства (21.2) преобразуется к виду

(x + y; x + y) = (x; x) + 2 (x; y) + 2(y; y) = kxk2 + 2 (x; y) + 2 kyk2 :

Рассмотрим преобразованное неравенство (21.5) как квадратное неравенство относительно произвольного 2 R:

kyk2 2 + 2(x; y) + kxk2 0:

Выполнение данного неравенства для любого действительного числа и любых векторов x, y евклидова пространства означает, что дискриминант квадратного трехчлена неположителен:

D= 4(x; y)2 4 kxk2 kyk2 0;

ò.å. (x; y)2 kxk2 kyk2, что и означает выполнение неравенства (21.4). Лемма доказана.

Доказательство выполнения свойства полуаддитивности нормы для функции, введенной равенством (21.2). Действительно,

q q

kx + yk = p(x + y; x + y) = kxk2 + 2(x; y) + kyk2 kxk2 + 2j(x; y)j + kyk2

q q

kxk2 + 2 kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 = kxk + kyk

Замечание 21.2. Евклидово пространство всегда является нормированным пространством. Обратное, вообще говоря, неверно.

3Заметим, что в этом же пространстве можно ввести норму и по-другому, например, так

Аксиомы нормы при этом выполняются.

3

21.1.4.Метрическое пространство

Множество M элементов произвольной природы называется м е т р и ч е с к и м п р о - с т р а н с т в о м, если любой паре его элементов x; y 2 M поставлено в соответствие число (x; y), называемое расстоянием между элементами x и y, удовлетворяющее для любых x; y; z 2 M следующим свойствам (аксиомам расстояния):

1.(x; y) 0; (x; y) = 0 , x = y;

2.(x; y) = (y; x);

3.(x; y) (x; z) + (z; y).

Аксиома 3 обычно называется неравенством треугольника. Функцию (x; y) от двух аргументов x и y называют еще м е т р и к о й пространства M.

Д/З: Доказать4, что в пространстве Rn расстояние между точками x и y может быть введено с помощью нормы (21.3) следующим образом:

После определения метрики (21.6) в пространстве Rn можно ввести понятие окрестно- сти точки в этом пространстве.

21.2.Окрестность точки в пространстве Rn

21.2.1.Понятие окрестности точки

В пространстве Rn з а м к н у т ы м ш а р о м радиуса r > 0 с центром в точке a называют множество точек x, расстояние от которых до точки a не превосходит r:

X u

t

Граница такого шара ему не принадлежит.

4Показать, что выполняются аксиомы расстояния

4