Лекция 26. Непрерывные функции многих переменных

26.1.Определение непрерывности функции многих переменных

Пусть функция u = f(x) нескольких переменных определена на множестве X Rn è пусть a предельная точка множества X, принадлежащая этому множеству.

Определение 26.1. Функция u = f(x) называется н е п р е р ы в н о й в т о ч к е a, если

lim f(x) = f(a):

x!a

Отметим, что так как a = lim x, то условие непрерывности функции можно записать

x!a

в следующей форме:

Сформулируем определение непрерывности функции, используя определение предельного значения функции по Гейне.

Определение 26.2. Функция u = f(x) называется н е п р е р ы в н о й в т о ч к е a, если для любой сходящейся к a последовательности точек fxkg из области X, справедливо

равенство lim f(xk) = f(a).

k!1

Сформулируем определение непрерывности функции, используя определение предельного значения функции по Коши.

Определение 26.3. Функция u = f(x) называется н е п р е р ы в н о й в т о ч к е a, если

8 " > 0 9 (") > 0 : 8 x 2 X; (x; a) < ) jf(x) f(a)j < ":

П р и р а щ е н и е м или п о л н ы м п р и р а щ е н и е м функции u = f(x) в точке a

называется функция

u(a) = f(x) f(a); x 2 X:

где x любая точка из множества X задания функции. Пусть точки a и x имеют со-

ответственно координаты (a1; : : : ; an) è (x1; : : : ; xn). Обозначив приращения независимых переменных x1 = x1 a1, : : :, xn = xn an, приращение функции u в точке a(a1; : : : ; an) можно записать в виде

:::

xn!0

т. е., если бесконечно малым приращениям всех независимых переменных отвечает бесконечно малое приращение функции.

Это определение, также как и в случае функции одной переменной, будем называть определением непрерывности на языке приращений.

1

26.2.Непрерывность по отдельным переменным

Зафиксируем все аргументы функции u = f(x1; : : : ; xn), кроме первого, положив xi = ai (i = 2; n), а первому аргументу x1 = a1 придадим произвольное приращение x1 такое, чтобы точка с координатами (a1 + x1; a2; : : : ; an) находилась в области X задания функции. Функция u = f(x1; : : : ; xn) получит при этом приращение

x1 u(a) = f(a1 + x1; a2; : : : ; an) f(a1; a2; : : : ; an);

которое называется ч а с т н ы м п р и р а щ е н и е м функции u в точке a, соответствующим приращению x1 аргумента x1.

Аналогично определяются частные приращения функции f в точке a, соответствующие приращениям других аргументов:

x2 u(a) = f(a1; a2 + x2; : : : ; an) f(a1; a2; : : : ; an);

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

xn u(a) = f(a1; a2; : : : ; an + xn) f(a1; a2; : : : ; an):

Отметим, что xk u(a) является функцией одной переменной xk (k 2 f1; 2; : : : ; ng).

Определение 26.5. Функция u = f(x1; : : : ; xn) называется непрерывной в точке a по переменной xk, åñëè

lim xk u(a) = 0;

xk!0

т. е., если частное приращение xk u(a) этой функции в точке a представляет собой бесконечно малую функцию от xk.

Можно дать другое, эквивалентное определение непрерывности по переменной xk.

Определение 26.6. Функция u = f(x1; : : : ; xn) называется непрерывной в точке a по переменной xk, если функция f(a1; : : : ; ak 1; xk; ak+1; : : : ; an) одной переменной xk непре- рывна в точке xk = ak.

В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции (определения пункта 26.1.) называют иногда н е п р е р ы в н о с т ь ю п о с о в о - к у п н о с т и п е р е м е н н ы х.

Очевидно, из условия непрерывности функции u = f(x1; : : : ; xn) в данной точке a вытекает непрерывность этой функции в точке a по каждой из переменных x1; : : : ; xn. Однако из непрерывности функции в точке a по каждой из переменных x1; : : : ; xn íå вытекает, вообще говоря, непрерывность функции в этой точке.

Пример 26.1. Разберите примеры 1 и 2 , приведенные в учебнике1 íà ñòð. 492-493.

26.3.Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема 26.3.1 (Арифметические свойства непрерывных функций) . Если функции f(x)

è g(x) непрерывны в точке a множества X, то в этой точке непрерывны функции f(x) g(x), f(x) g(x), а если, кроме того, g(a) 6= 0, то непрерывна и функция f(x)=g(x).

1Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

2

Арифметические свойства непрерывных функций вытекают из арифметических свойств предела функции в точке.

(Лемма о сохранении знака). Если функция u = f(x) непрерывна в точ- ке a евклидова пространства Rn è åñëè f(a) 6= 0, тo существует такая -окрестность точки a в пределах которой во всех точках области своего задания f(x) не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком f(a).

Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает 2 из определения непрерывности функции по Коши.

Теорема 26.3.3 (Непрерывность сложной функции). Пусть функции xi = 'i(t1; : : : ; tm), i = 1; n, непрерывны в точке a(a1; : : : ; am), и функция u = f(x1; : : : ; xn) непрерывна в точке b(b1; : : : ; bn), ãäå bi = 'i(a1; : : : ; am), i = 1; n. Тогда сложная функция

f('(t)) = f('1(t1; : : : ; tm); : : : ; 'n(t1; : : : ; tm))

непрерывна в точке a.

Доказательство. Òàê êàê 'i(t) непрерывны в точке a, 'i(a) = bi, то для любой схо- дящейся к a последовательности точек ftkg из области D(') определения функций 'i

(i = 1; n) справедливо равенство lim 'i(tk) = bi, i = 1; n, т. е., согласно теореме 22.1.3

k!1

второго семестра, f'(tk)g ! b.

k!1

Так как f(x) непрерывна в точке b, то для любой сходящейся к точке b последовательности точек fxkg из области D(f), в том числе и для xk = '(tk), справедливо равенство

lim f(xk) = f(b).

k!1

Таким образом, для любой сходящейся к a последовательности точек ftkg из области D(') справедливо равенство

lim f '(tk) = f(b) = f ('(a)) ;

k!1

т. е. выполняется определение непрерывности функции в точке на языке последовательностей. Теорема доказана.

26.4.Свойства функций, непрерывных на множестве

9 C > 0 : 8 x 2 D jf(x)j C:

Теорема 26.4.1 (Первая теорема Вейерштрасса) . Непрерывная на компактном множестве функция ограничена на этом множестве.

2Доказательство аналогично лемме 21.4.1 первого семестра.

3

Доказательство. Пусть u = f(x) непрерывна на компактном множестве K Rn. íî является Предположим, что u = f(x) не ограничена на K, т. е.

8 N 2 N 9 xN 2 K jf(xN )j > N

Таким образом, мы выделим последовательность fxN g (N = 1; 2; : : :), принадлежащую компактному множеству K и, значит, ограниченную. Из критерия компактности Больца-

но - Вейерштрасса3 следует, что из этой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность fxNk g предел a которой, принадлежит множеству K. Очевидно,

последовательность ff(xNk )g бесконечно большая. С другой стороны, в силу определения 26.2 непрерывности функции в точке a, эта последовательность ff(xNk )g должна сходиться к f(a). Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 26.4.2 (Вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на компактном множестве функция достигает на этом множестве своих точных граней.

Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 23.1.2 первого семестра (лекция 23) со ссылкой на предыдущую теорему.

Теорема 26.4.3 f(x) определена на с в я з - н о м множестве4 D Rn и непрерывна на нем, причем f(a) è f(b) значения этой функции в точках a è b этого множества. Если f(a) f(b) < 0, то существует точка c 2 D, в которой f(c) = 0.

Доказательство. Пусть

x1 = 1(t); x2 = 2(t); : : : ; xn = n(t); t 2 [ ; ];

уравнения непрерывной кривой , соединяющей точки a и b множества D, целиком располагающейся в D. При этом координаты точек a и b соответственно ( 1( ); : : : ; n( )), ( 1( ); : : : ; n( )). На отрезке [ ; ] определена сложная функция u = f(x1; : : : ; xn), ãäå xi = i(t), i = 1; n, t . Очевидно, значения этой функции на отрезке [ ; ] совпадают со значениями функции f(x) на кривой :

f(x) = f(x1; : : : ; xn) = f( 1(t); : : : ; n(t)) = F (t):

Указанная сложная функция о д н о й п е р е м е н н о й t, в силу теоремы 26.3.3 непрерывна на сегменте [ ; ]. Так как ее можно рассматривать как непрерывную функцию о д н о й п е р е м е н н о й t, принимающую на концах отрезка [ ; ] разные знаки, то согласно теореме 23.2.1 первого семестра, F ( ) = 0 в некоторой точке 2 [ ; ], следовательно, f( 1( ); : : : ; n( )) = 0. Поэтому в точке c кривой с координатами 1( ); : : : ; n( ) справедливо равенство f(c) = 0. Теорема доказана.

Теорема 26.4.4 (Вторая теорема Больцано - Коши) . Пусть f(x) определена на с в я з - н о м множестве D Rn и непрерывна на нем, причем f(a) = A è f(b) = B значения этой функции в точках a è b этого множества (A 6= B). Тогда f(x) принимает любое значение между A è B, ò. å.

8 C 2 [A; B] 9 c 2 D : f(c) = C:

3Теорема 23.4.1 второго семестра.

4Множество называется с в я з н ы м, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве. См. лекцию 23 второго семестра.

4

Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 23.2.2 первого семестра (лекция 23) со ссылкой на предыдущую теорему.

Определение 26.9. Функцию f(x), заданную на множестве X, называют р а в н о м е р - н о н е п р е р ы в н о й на этом множестве, если для каждого " > 0 существует (") > 0 такое, что для любых точек x0 è x00 из X, удовлетворяющих условию (x0; x00) < , справедливо неравенство jf(x0) f(x00)j < ".

Теорема 26.4.5 (Теорема Кантора). Если функция непрерывна на компактном множестве5 K, то она равномерно непрерывна на нем.

Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 23.3.1 первого семестра и получается из него путем замены термина ¾отрезок [a; b]¿ термином ¾множество K¿, замены x на x и замены выражений типа jx0 x00j на символ (x0; x00).

5Множество в пространстве Rn называется к о м п а к т н ы м, если оно ограниченное и замкнутое.

5