Лекция 30. Производные и дифференциалы высших порядков

30.1.Частные производные высших порядков

Пусть задана функция f(x; y), тогда ее частные производные (если они существуют)

Все эти частные производные называются частными производными второго порядка. Беря от производных второго порядка снова частные производные, получим всевозможные частные производные третьего порядка:

Определение 30.1. Частная производная от частной производной порядка n 1 называется частной производной порядка n (n = 1; 2; : : :).

Частная производная, содержащая дифференцирование по различным переменным, называется с м е ш а н н о й частной производной. Частная же производная, содержащая дифференцирование только по одной переменной, называется ч и с т о й частной производной.

Убедимся, что значения смешанных частных производных могут зависеть от порядка дифференцирования на следующем примере.

1

И все же при определенных условиях смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования. Более точно, имеет место, например, следующая теорема.

Теорема 30.1.1. Пусть функция f(x; y) определена вместе со своими частными произ-

водными fx0 , fy0, fxy00 , fyx00 в некоторой окрестности точки M0(x0; y0), причем производные fxy00 è fyx00 непрерывны в этой точке, тогда

Доказательство, изложенное в [2] на стр. 311 312, приведено ниже.

Замечание 30.1. Из данной теоремы по индукции легко следует, что, если у функции многих переменных смешанные частные производные m-го порядка непрерывны в неко-

торой точке, то они в этой точке не зависят от порядка дифференцирования. Докажем,

например, что

fxyz000 = fzyx000 :

Согласно теореме 30.1.1, имеем последовательно

fxyz000 = (fx0 )00yz = (fx0 )00zy = (fxz00 )0y = (fzx00 )0y = (fz0)00xy = (fz0)00yx = fzyx000 :

Определение 30.2. Функция z = f(x; y) называется n р а з д и ф ф е р е н ц и р у е - м о й в точке M0(x0; y0), если все частные производные (n 1)-го порядка этой функции являются дифференцируемыми функциями в точке M0. Отметим следующее утвержде- íèå.

2

Утверждение 30.1.2. Для того чтобы функция z = f(x; y) áûëà n раз дифференцируемой в точке M0 достаточно, чтобы все ее частные производные n-го порядка были непрерывными в точке M0.

Справедливость этого утверждения вытекает из определения дифференцируемости функции и теоремы 27.2.4 о достаточных условиях дифференцируемости.

Следующая теорема дает другое, нежели в теореме 30.1.1, достаточное условие для выполнения равенства (30.2).

Теорема 30.1.3. Если функция f(x; y) дважды дифференцируема в точке M0(x0; y0), то справедливо равенство (30.2).

Без доказательства1.

30.2.Дифференциалы высших порядков

Пусть функция z = f(x; y) имеет непрерывные вторые производные в точке M0(x0; y0) и, значит, ее первые производные дифференцируемы в этой точке. Вычислим дифферен-

циал от дифференциала

dz(x; y) = zx0 (x; y) dx + zy0 (x; y) dy

в точке M0 считая приращения dx, dy независимых аргументов фиксированными, т. е. рассматривая дифференциал dz только как функцию от (x; y); при этом новое дифференцирование обозначим символом :

(dz) = (zx0 )dx + (zy0 )dy =

= zxx00 x + zxy00 x dx + zyx00 x + zyy00 y dy = = zxx00 dx x + zxy00 (dx y + x dy) + zyy00 dy y:

Все производные здесь взяты в точке M0. Полагая здесь x = dx, y = dy, получим формулу, которая называется в т о р ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м функции z = f(x; y) в точке M0 и обозначается d2z:

Вторым дифференциалом d2z функции z = f(x; y) в данной точке

называется дифференциал от первого дифференциала dz = zx0 (x; y) dx + zy0 (x; y) dy при фиксированных значениях dx, dy, причем дифференциалы функций zx0 (x; y), zy0 (x; y) âû-

числяются при тех же самых приращениях независимых переменных, что и первый дифференциал.

Замечание 30.1. Если функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные производные второго порядка в точке M0(x0; y0), то второй дифференциал d2z функции z является симметричной квадратичной формой2 от дифференциалов dx, dy независимых переменных:

d2z = A(dx; dy; dx; dy) = a11dxdx + a12dxdy + a21dydx + a22dydy;

3

коэффициенты которой равны соответствующим частным производным второго порядка функции z, взятым в данной точке: a11 = zxx00 , a22 = zyy00 , a12 = a21 = zxy00 = zyx00 .

Формулу (30.3) можно записать в более компактном виде. Если @x@ è @y@ рассматри-

вать как обозначения дифференциальных операторов, результатами действия которых на функцию z(x; y) являются частные производные @x@z è @y@z , òî

ф е р е н ц и а л) функции z = f(x; y) определяется индуктивно по формуле

dnz = d(dn 1z)

при таких же условиях, что и второй дифференциал.

Дифференциалом n-го порядка функции z = f(x; y) в данной точке называется дифференциал от (n 1)-го дифференциала dn 1z при фиксированных значе- ниях dx, dy, причем дифференциалы от частных производных (n 1)-го порядка функции z берутся при тех же самых приращениях независимых переменных, что и (n 1)-й дифференциал.

Äëÿ dnz справедлива операторная формула

i;j=1

В случае, когда aij = aji, i; j = 1; 2; : : : ; n, билинейная форма A(x,y) и соответствующая ей квадратичная форма A(x,x) называются симметричными.

4

Åñëè x è y ÿâ-

ляются не независимыми переменными, а дифференцируемыми (нужное число раз) функциями каких-либо независимых переменных t1; : : : ; tk, то формула (30.4) при n 2 стано-

вится, вообще говоря, неверной. В частности, при n = 2 согласно свойству инвариантно-

сти первого дифференциала и правилам взятия дифференциала от суммы и произведения функций имеем

где dx, dy дифференциалы первого порядка функций x(t1; : : : ; tk) è y(t1; : : : ; tk). Так как дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности формы, то

dzx0 (x; y) = zxx00 dx + zxy00 dy; dzy0 (x; y) = zyx00 dx + zyy00 dy:

Подставив эти выражения в (30.5) è ó÷òÿ, ÷òî d(dx) = d2x, d(dy) = d2y дифференциалы второго порядка функций x(t1; : : : ; tk), y(t1; : : : ; tk), получим

d2z = zxx00 dx + zxy00 dy dx + zx0 (x; y)d2x + zyx00 dx + zyy00 dy dy + zy0 (x; y)d2y:

Если функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то zxy00 = zyx00 , поэтому выражение (30.5) преобразуется к виду

è y(t1; : : : ; tk). Это подтверждает сказанное о неинвариантности формы дифференциалов высших порядков.

В случае функции m независимых переменных u = f(x1; : : : ; xm) дифференциал n-го порядка определяется индуктивно по формуле dnu = d(dn 1u) при условиях, аналогичных

условиям определения 30.4, справедлива операторная формула, аналогичная (30.4):

5

Список литературы

[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.

6