Лекция 24-25. Предел функции многих переменных

24.1.Понятие функции многих переменных

Пусть X Rn произвольное множество точек пространства Rn.

Определение 24.1. Если правило f (закон) каждой точке x(x1; x2; : : : ; xn) 2 X ставит в соответствие единственное действительное число u = f(x) = f(x1; x2; : : : ; xn) из множества E, то говорят, что на множестве X задана ч и с л о в а я ф у н к ц и я (или о т о б - р а ж е н и е) f от n переменных и пишут:

f : Rn ! R èëè u = f(x1; x2; : : : ; xn):

Множество X называется о б л а с т ь ю о п р е д е л е н и я ( X = D(f)), а множество E = fu 2 R : u = f(x); x 2 Xg множеством значений функции u = f(x).

В случае n = 2 вместо f(x1; x2) будем писать также f(x; y), в случае n = 3 вместо f(x1; x2; x3) будем писать также f(x; y; z).

Определение 24.2. Пусть на множестве X пространства Rn определена функция u=f(x) и

пусть Rnx+1u (n + 1)-мерное евклидово пространство точек (x; u) = (x1; : : : ; xn; u). Геометрическое место точек пространства Rnx+1u âèäà (x; f(x)), где x 2 X, называется графиком

функции f.

Функция z = f(x; y) двух переменных изображается как множество точек

S = f(x; y; z) 2 R3 : (x; y) 2 D(f); z = f(x; y)g;

которое представляет из себя поверхность. Проекцией поверхности на плоскость Oxy является область D(f).

Функцию трех переменных изобразить графически невозможно.

24.2.Предел функции многих переменных

Рассмотрим функцию u = f(x), определенную на множестве X Rn, и точку a

Замечание 24.1. Определением предела функции по Гейне удобно пользоваться в случае, когда надо доказать, что предела функции в точке не существует.

1Это требование объясняется, в частности, тем, что функция u = f(x) может быть не определена в точке a.

1

Пример 24.1. Доказать, что не существует предела функции

в точке O(0; 0).

Область определения данной функции D(f) = R2 nf(0; 0)g. Покажем что предел функции в точке O(0; 0) не существует. Для этого выберем две сходящиеся к началу координат последовательности точек

Таким образом, двум последовательностям, сходящимся к началу координат (следовательно, имеющим один и тот же предел (0; 0)), соответствуют две последовательности

значений функции имеющие разные пределы, что свидетельствует об отсутствии предела данной функции в точке O(0; 0) согласно определению по Гейне.

Определение 24.4 (Предел функции по Коши). Число A называется предельным зна- чением функции u = f(x) в точке a(a1; : : : ; an), если для любого положительного числа " можно указать такое положительное число , что для всех точек x из области X определения функции, удовлетворяющих условию 0 < (x; a) < ", выполняется неравенство jf(x) Aj < ".

Это опредление можно записать так:

y!b

Теорема 24.2.1. Определения предела функции многих переменных по Коши и по Гейне эквивалентны.

2

Доказательство провести самостоятельно аналогично доказательству эквивалентности определений предела функции одной переменной (семестр 1, лекция 19, теорема 19.2.1)

Ä/Ç.

Функция u = f(x) называется б е с к о н е ч н о м а л о й при x ! a (в точке a), если

lim f(x) = 0:

x!a

Если f(x) и g(x) бесконечно малые функции при x ! a и если

lim f(x) = 0;

x!a g(x)

то говорят, что функция f(x) является б е с к о н е ч н о м а л о й б о л е е в ы с о к о г о

ïо р я д к а при при x ! a (в точке a), чем g(x), и пишут f = o(g) при x ! a. Арифметические операции над функциями n переменных, имеющими предельное зна-

чение в точке a, приводят к функциям, также имеющим предельное значение в точке a. Именно, справедлива следующая

Теорема 24.2.2. Пусть для функций f(x) è g(x) существуют пределы

Тогда существуют указанные ниже пределы и справедливы равенства

lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x);

lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x);

если, кроме того, lim g(x) 6= 0, òî

x!a

Доказательство этого утверждения совершенно аналогично доказательству теоремы 18.2.1 первого семестра.

24.3.Критерии существования предела функции

Теорема 24.3.1. Функция имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда на любой последовательности точек fxkg из ее области определения, сходящихся к a и отличных от a, последовательность соответствующих значений функции ff(xk)g сходится.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 18.1.1 первого семестра.

Определение 24.5. Функция f удовлетворяет в точке a у с л о в и ю К о ш и, если

1.a предельная точка области определения функции f;

2.для каждого " > 0 существует такое число (") > 0, что для любой пары точек x0 è x00 из проколотой -окрестности точки a выполняется неравенство jf(x0) f(x00)j < ", короче,

8 " > 0 9 (") > 0 : 8 x0; x00 0 < (x0; a) < ; 0 < (x00; a) < ) jf(x0) f(x00)j < ":

3

Теорема 24.3.2 (Критерий Коши). Для того чтобы функция f имела в некоторой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы функция f удовлетворяла в этой точке условия Коши.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует lim f(x), т. е. a предельная

x!a

точка области определения функции f и

Взяв произвольные точки x0 è x00 из проколотой -окрестности точки a, находим jf(x0) f(x00)j = jf(x0) A + A f(x00)j jf(x0) Aj + jA f(x00)j < 2" + 2" = ":

Таким образом, необходимость условия Коши установлена. Достаточность. Пусть теперь выполнено условие Коши:

8 " > 0 9 (") > 0 : 8 x0; x00 0 < (x0; a) < ; 0 < (x00; a) < ) jf(x0) f(x00)j < ":

Рассмотрим произвольную последовательность точек fxkg из области определения функции f такую, что xk ! a ïðè k ! 1 è xk 6= a для всех k. Тогда существует число N, зависящее от , а в конечном сч¼те зависящее от ", такое, что при всех k > N для точек xk справедливо неравенство 0 < (xk; a) < .

Значит, для натурального k, превосходящего N, и любого натурального p справедливо jf(xk) f(xp+k)j < " и для последовательности ff(xk)g выполняется условие Коши (ff(xk)g фундаментальная).

Итак, для любой последовательности точек fxkg ! a существует конечный предел последовательности ff(xk)g. Согласно теореме 24.3.1 функция f имеет предел в точке a. Теорема доказана.

24.4.Предел по направлению

Определение 24.6. Пусть x0 предельная точка множества D Rn. Число A называют п р е д е л о м ф у н к ц и и f(x) в т о ч к е x0 ï î ì í î æ å ñ ò â ó D, åñëè:

1.функция f определена во всех точках множества D, принадлежащих некоторой проколотой окрестности точки x0;

2. 8 " > 0 9 (") > 0 : 8 x 2 D; 0 < (x; x0) < ) jf(x) Aj < ":

В этом случае пишут

A = lim f(x)

x!x0; x2D

Âкачестве множества D может выступать некоторая кривая , тогда говорят о п р е -

äå ë å ô ó í ê ö è è f(x) â ò î ÷ ê å x0 ï î ê ð è â î é .

Заметим, что односторонние пределы функции одной переменной фактически являются пределами по множеству.

Пусть (для простоты) функция f(x) определена во всех точках некоторой проколотой окрестности точки x0. Рассмотрим луч с вершиной в точке x0, параллельный ненулевому

4

n-мерному вектору ~ = ( 1; : : : ; n), т. е. множество точек x, для координат которых выполняются равенства

x!x0; x=x0+~t

п о н а п р а в л е н и ю, определяемому вектором ~. Предел по направлению является пре-

делом функции f(x01 + 1t; : : : ; x0n + nt) одной переменной t при t ! +0.

Понятно, что если функция имеет предел в точке, то она имеет в этой точке равные ему пределы по всем направлениям и по всем кривым.

Если не предполагать, что функция имеет предел в точке, и рассматривать только пределы в этой точке по направлениям, то могут быть разные случаи.

Предел по одним направлениям может существовать, а по другим нет.

Пример 24.2. Рассмотрим функцию

f(x; y) = ex=(x2+y2):

Область определения данной функции D(f) = R2 nf(0; 0)g. Исследуем пределы этой функции по различным направлениям в точке (0; 0) предельной точке области определения. Уравнение прямой, проходящей через начало координат (0; 0) в направлении вектора ( ; ), имеет вид x = t, y = t, 2 + 2 6= 0. Имеем

Предел функции f в точке (0; 0) по направлению луча ( ; ) является пределом функции (24.2) ïðè t ! +0.

Таким образом, по лучам x = t, y = t, > 0 не существует конечного предела функции f в точке (0; 0).

Могут существовать пределы по всем направлениям, но значения пределов по разным направлениям различны.

Пример 24.3. Рассмотрим функцию (24.1) Исследуем пределы этой функции по различ- ным направлениям в точке (0; 0):

т. e. предел по любому направлению существует, но по каждому направлению свой. Следовательно, предел функции f в точке (0; 0) не существует.

Возможен случай, когда пределы по всем направлениям существуют и их значения равны, а предела нет.

5