Лекция 27-28. Частные производные и дифференцируемость функции

27.1.Частные производные первого порядка

Для простоты будем рассматривать случай функций двух переменных (за некоторым исключением), хотя все понятия легко распространяются на случай трех и большего числа переменных.

Пусть M0(x0; y0) внутренняя точка области определения функции z = f(x; y). Зафиксируем значение y = y0. Тогда f(x; y0) есть функция только от x (е¼ графиком является сечение поверхности z = f(x; y) плоскостью y = y0 (ñì. ðèñ. 1). Дадим приращение x переменной x в точке x0. Тогда функция f(x; y0) получит приращение

xz = f(x0 + x; y0) f(x0; y0);

совпадающее с частным приращением функции z = f(x; y) в точке M0, соответствующее

приращению x аргумента x. Отношение xz является функцией одного аргумента x

x

(при фиксированной точке M0(x0; y0)).

Определение 27.1. Частной производной функции z = f(x; y) по аргументу x в точке M0

называется предел lim xz ; если он существует.

x!0 x

Частную производную по x обозначают одним из следующих символов:

Легко видеть, что производная функции f(x; y0) одной переменной x и есть частная производная функции f(x; y) по аргументу x:

Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и производные

функций одной переменной.

Выражение @@fx является единым символом, его нельзя рассматривать как дробь (в отличие от соответствующей записи производной функции одной переменной, равной от-

ношению дифференциалов).

Геометрический смысл частной производной zx0 (M0) функции z = f(x; y) тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x; y0) в точке x0. На рисунке 1 это тангенс óãëà .

@f

Физический смысл частной производной @ x(M0) это скорость изменения функции в точке M0 в направлении оси Ox.

1

Рис. 1: Геометрический смысл частных производных функции z = f(x; y).

Аналогично определяется частная производная по y как предел

(если он существует) и вводятся ее обозначения:

zy0 (M0); fy0 (M0); @@zy (M0); @@fy (M0):

Пример 27.1. Примеры вычисления частных производных приведены в [1] íà ñòð. 498.

Замечание 27.1. Из свойств производных функций одной переменной следует, что если функция f(x; y) имеет в точке M0(x0; y0) частную производную fx0 (M0) = f0(x; y0), òî f

~

непрерывна в точке M0 по направлению первого базисного вектора i (îñè Ox). Íî êàê функция двух переменных f может при этом не быть непрерывной в точке M0. В самом деле, в определении производной @f=@x участвуют только значения функции на малом

отрезке, проходящем через точку M0 параллельно оси Ox. Таким образом, из существования у функции в данной точке всех частных производных, не вытекает непрерывность функции в этой точке. Вы уже убедились, что функция

не является непрерывной в точке O(0; 0) (см. пример 1 â [1] на стр. 492 493). Однако в этой точке указанная функция имеет частные производные по x и y. Это следует из того, что f(x; 0) 0 и f(0; y) 0, и поэтому

Замечание 27.2. Для граничных точек области определения функции введенное определение частных производных является, вообще говоря, непригодным. В частности, это связано с тем, что в граничных точках области определения функции не всегда можно вычислить частные приращения этой функции (так, например, обстоит дело с граничной

2

точкой M0(x0; y0) области, изображенной на рис. 2). В таком случае, если существует частная производная fx0 во внутренних точках M(x; y) области G, то по определению полагают

fx0 (M0) = lim fx0 (M);

M!M0

если этот предел существует.

Ðèñ. 2:

27.2.Дифференцируемость функции

Напомним, что приращением (или полным приращением) функции z = f(x; y) в точ- ке M0(x0; y0), соответствующим приращениям x, y аргументов, называется выражение

z(M0) = f(x0 + x; y0 + y) f(x0; y0):

Определение 27.2.Функцияz =f(x; y) называется дифференцируемой в точке M0(x0; y0), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

где A, B некоторые числа, = ( x; y), = ( x; y) функции аргументовx; y, бесконечно малые при x ! 0, y ! 0 и равные нулю при x = y = 0.

Условие дифференцируемости (27.1) можно записать также в иной форме:

p

ãäå = x2 + y2 расстояние между точками M0(x0; y0) è M(x0 + x; y0 + y) (эта функция обращается в нуль лишь при x = y = 0), o( ) бесконечно малая более высокого порядка малости, чем при ! 0.

Теорема 27.2.1. Определения (27.1) è (27.2) дифференцируемости функции f в точке M0 эквивалентны.

Доказательство. Докажем, что из (27.1) следует (27.2). Убедимся, что входящая в правую часть соотношения (27.1) сумма x + y, где , функции аргументов

x; y, бесконечно малые при x ! 0, y ! 0 и равные нулю при x = y = 0, представляет собой бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с 1. Иными

1Если f(x) и g(x) бесконечно малые функции при x ! a и если

lim f(x) = 0;

x!a g(x)

3

словами, убедимся, что эта сумма представляет собой выражение o( ). В самом деле, при6= 0 справедливо

так как произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая и сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это означает, что x + y = o( ).

Теперь докажем, что из (27.2) следует (27.1). Для этой цели, считая, что x и y одновременно в ноль не обращаются ( x2 + y2 6= 0), представим o( ) в виде

Полагая o( ) x = , o( ) y = и учитывая, что и являются бесконечно малыми при! 0 (а стало быть, и при x ! 0, y ! 0) функциями, мы придем к представле-

íèþ (27.1).

Итак, условие дифференцируемости функции можно записать как в виде (27.1), òàê è â âèäå (27.2). Теорема доказана.

Следствие 27.2.2. Если функция z = f(x; y) дифференцируема в точке M0(x0; y0), то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из условия (27.1) дифференцируемости функции в точке вытекает, что

lim z(M0) = 0;

x!0y!0

а это и означает2, что функция непрерывна в точке M0 (см. лекцию 26, определение 26.4).

Следствие 27.2.3. Если функция z = f(x; y) дифференцируема в точке M0(x0; y0), то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем

где A и B числа из равенств (27.1) è (27.2).

Доказательство. В (27.1) зафиксируем y = y0 ( y = 0), тогда частное приращение xz в точке M0 равно

xz(M0) = A x + x:

Отсюда вытекает, что

xxz (M0) = A + ;

и поэтому, так как ! 0 при x ! 0,

lim xz(M0) = @z (M0) = A:

x!0 x @x

2Бесконечно малым приращениям всех независимых переменных отвечает бесконечно малое приращение функции.

4

Пример 27.2. Исследовать дифференцируемость функции

81

:

в точке M0(0; 0).

Как следует из вышесказаного, функция z дифференцируема в точке M0, если полное приращение функции в точке M0 можно представить в форме

где " = o( ) при ! 0. Таким образом, если в представлении (27.4) функция "( x; y) удовлетворяет предельному равенству

то " = o( ) при ! 0 и, следовательно, функция z дифференцируема в точке M0. Åñëè

аналогично @y@z (M0) = 0. Подставим все это в (27.5):

Поскольку (j xj + j yj)2 2( x2 + y2), то верны соотношения

5

Следовательно, функция z дифференцируема в точке M0.

Замечание 27.1. Следствия 27.2.2 è 27.2.3 дают необходимые условия дифференцируемости функций многих переменных. Обратные им утверждения не верны. Из непрерывности функции не следует дифференцируемость ( Д/З: приведите пример). Из существования частных производных не следует дифференцируемость функции. В замечании 27.1 приведен пример, демонстрирующий, что существование частных производных не обеспечивает непрерывность функции, следовательно, эта функция не может быть дифференцируемой.

Теорема 27.2.4 (Достаточное условие дифференцируемости) . Если функция z = f(x; y)

имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки M0, причем все эти частные производные непрерывны в самой точке M0, то указанная функ- ция дифференцируема в точке M0.

Доказательство читайте в [1] на стр. 503 504 (доказательство теоремы 14.10).

27.3.Дифференциал функции многих переменных

Пусть функция z = f(x; y) дифференцируема в точке M0(x0; y0), т. е. е¼ приращение в этой точке можно представить в виде (27.3).

Определение 27.3. Д и ф ф е р е н ц и а л о м (полным дифференциалом 3) дифференцируемой в точке M0(x0; y0) функции z = f(x; y) называется часть приращения функции z в этой точке, линейно зависящая от приращений x и y аргументов.

Обозначают дифференциал dz(M0), df(M0) или dz, df. Таким образом,

Как и в случае функций одной переменной, приращения x, y независимых переменных называют их дифференциалами и обозначают dx, dy. Это позволяет переписать формулу (27.6) â âèäå

3Слово полный в определение дифференциала добавляют, чтобы подчеркнуть, что приращение получают, вообще говоря, все аргументы. Впрочем, это слово обычно опускают и говорят просто дифференциал, имея в виду полный дифференциал.

6

27.4.Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции

Напомним, что для функции одной переменной y = f(x) из дифференцируемости функции в точке x0

M(x0; f(x0)).

Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных z = f(x; y), (x; y) 2 G. График этой функции, т. е. множество точек S = f(x; y; z) 2 R3 : (x; y) 2 G; z = f(x; y)g; как мы уже говорили, представляет собой поверхность в пространстве R3.

Рис. 3: Поверхность и касательная плоскость.

Обозначим z0 = f(x0; y0) значение функции в точке M0(x0; y0). Пусть плоскость проходит через точку N0(x0; y0; z0) поверхности S; N(x; y; z) произвольная точка поверхности S (рис. 3).

Определение 27.4. Плоскость , проходящая через точку N0 поверхности S, называется к а с а т е л ь н о й п л о с к о с т ь ю к поверхности S в этой точке, если угол между этой плоскостью и любой секущей N0N поверхности стремится к нулю, когда точка N стремится к N0.

Если в точке N0 существует касательная плоскость, то очевидно, что касательная в точке N0 к любой кривой, расположенной на поверхности и проходящей через N0, лежит в указанной плоскости.

Определение 27.5. Прямую, проходящую через точку N0 поверхности S перпендикулярно касательной плоскости к поверхности S в этой точке, называют н о р м а л ь ю к поверхности.

Теорема 27.4.1.Если функция z=f(x; y) дифференцируема в точке M0(x0; y0) è f(M0)=z0, то в точке N0(x0; y0; z0) существует касательная плоскость к поверхности S (графику этой функции), причем уравнение касательной плоскости имеет вид

7

При этом уравнения нормали

z = f(x; y). Очевидно, условие 27.2 дифференцируемости в рассматриваемом случае можно записать следующим образом:

известно, что уравнение

определяет в декартовой системе координат (x; y; z) некоторую плоскость, проходящую через точку N0(x0; y0; z0) и имеющую нормальный вектор n = fA; B; 1g.

Докажем, что плоскость , задаваемая уравнением (27.8), является касательной плоскостью в точке N0 поверхности S. Для этого достаточно убедиться, что:

1.плоскость проходит через точку N0 поверхности S;

2.угол ' между нормальным вектором n к этой плоскости и любой секущей N0N стремится к =2, когда точка N поверхности S стремится к точке N0.

Утверждение 1) очевидно. Перейдем к доказательству утверждения 2).

Вычислим косинус угла ', воcпользовавшись известной формулой для косинуса угла

между двумя векторами n = fA; B; 1g и N0N = fx x0; y y0; z z0g (ñì. ðèñ. 3):

метрической точки зрения означает наличие касательной плоскости к графику функции z = f(x; y) в точке N0(x0; y0; z0).

Как известно из аналитической геометрии прямая в пространстве определяется точ- кой и направляющим вектором. Канони÷еские уравнения прямой, проходящей через точ- ку N0(x0; y0; z0) в направлении вектора n = fA; B; 1g имеют вид

и определяют прямую, перпендикулярную плоскости z z0 = A(x x0) + B(y y0).

8

Поскольку нормаль это прямая, проходящая через точку N0(x0; y0; z0) перпендику-

получаем уравнения нормали (27.9). Теорема доказана.

Из того, что касательная плоскость имеет уравнение (27.8), вытекает г е о м е т р и ч е - с к и й с м ы с л д и ф ф е р е н ц и а л а функции двух переменных. Правая часть уравнения (27.8) ес дифференциал функции z=f(x; y) в точке M0(x0; y0)

соответствующий приращениям x = x x0, y = y y0. Левая же часть (27.8) åñòü соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости .

Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал функции z = f(x; y) в точке M0 для приращений x = x x0, y = y y0 есть приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности z = f(x; y) в точке для тех же приращений (см. рис. 4).

Рис. 4: Геометрический смысл дифференциала функции.

9

Список литературы

[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.

10