Лекция 31. Формула Тейлора

Как и для функций одной переменной, формула Тейлора для функций многих переменных да¼т с точностью до определенных остаточных членов представление функции в виде многочлена, который называют многочленом Тейлора.

31.1.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Материал взят из учебника [1], ñòð. 525 526.

1

Замечание 31.1. При n = 0 из формулы (14.50) получаем ф о р м у л у Л а г р а н ж а к о н е ч н ы х п р и р а щ е н и й для функции u = f(x1; : : : ; xm) многих переменных:

2

31.2.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Без доказательства.

Формула (14.58) называется формулой Тейлора (с центром разложения в точке M0) ñ остаточным членом в форме Пеано.

Как видно, формула Тейлора (14.58) справедлива при более слабых условиях, чем формула (14.50).

Пример 31.1. Разложить функцию f(x; y) = 2x 3y по формуле Тейлора с остаточным

членом в форме Пеано в окрестности точки M0(2; 1).

f(M0) = 2 1 = 12:

Пользуясь свойством инвариантности формы первого дифференциала функции одной переменной (d'(u) = '0(u)du) и правилом нахождения дифференциала разности, находим

ln22(dx 3dy):

Здесь dx, dy приращения независимых переменных. Находим второй дифференциал, помня, что dx, dy не изменяются, поэтому выражение dx 3dy константа:

Подставим найденные дифференциалы в точке M0 в формулу (14.58), учитывая равенства dx = x 2, dy = y 1, и получим искомое разложение в некоторой окрестности точки

M0(2; 1):

3

Список литературы

[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.

4