Лекция 33. Неявная функция одного переменного

33.1.Достаточные условия существования неявной функции

До сих пор изучались функции вида y = f(x), когда каждой точке из области задания

функции каким-либо способом (например, с помощью формулы) ставилось в соответствие число y значение функции. В таких случаях функции считают заданными явно.

О неявном задании функций, короче о н е я в н ы х ф у н к ц и я х, говорят, когда переменные x и y связаны равенством F (x; y) = 0 и y считается функцией от x, т. е. когда

уравнение F (x; y) = 0 нужно решить относительно y. Понятно, что это не всегда возможно. Например, уравнение x2 +y2 +1 = 0 не определяет функции y (мы имеем в виду только

действительные значения переменных).

Поясним на простом примере постановку вопроса и характер ожидаемых результатов. Пусть числа x и y связаны уравнением единичной окружности

или в каждой точке можно выбрать произвольно, уравнение (33.1) зада¼т бесконечно

много функций.

Если же рассматривать только непрерывные функции, то уравнение (33.1) определяет на [ 1; 1] две функции

p

y = 1 x2 (33.2)

è p

y = 1 x2:

Графиком первой из них является верхняя полуокружность, а графиком второй нижняя полуокружность. Таким образом, уравнение (33.1) не определяет на отрезке [ 1; 1]

непрерывную функцию однозначно.

Перейд¼м от такой глобальной постановки вопроса к локальной и рассмотрим вопрос о разрешимости уравнения (33.1) не во всей полосе jxj 1, а только в окрестности некоторой

точки (x0; y0) окружности (33.1). Пусть для определ¼нности эта точка лежит на верхней полуокружности.

Рис. 1: Определение функции в некоторой окрестности точки.

1

Åñëè jx0j < 1, то в достаточно малой окрестности точки (x0; y0), ãäå y0 > 0, уравнение (33.1) зада¼т функцию формулой (33.2) (ñì. ðèñ. 1). Графиком этой функции является часть окружности, содержащаяся в рассматриваемой окрестности.

А если в качестве (x0; y0) взять точку (1; 0), то ни в какой окрестности этой точки уравнение (33.1) не зада¼т однозначную непрерывную функцию (см. рис. 1).

Заметим, что частная производная по y функции из левой части уравнения (33.1)

@y@ (x2 + y2 1) = 2y

âточках (x0; y0) ïðè jx0j < 1 не равна нулю, а в точке (1; 0) эта производная обращается

âнуль. Каким же условиям должно удовлетворять уравнение

чтобы оно определяло неявную функцию y? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 33.1.1 (Достаточные условия существования неявной функции) . Пусть задано уравнение (33.3), где функция F (x; y) определена в некоторой окрестности точ-

êè ^

M0(x0; y0) и удовлетворяет следующим условиям:

Тогда уравнение (33.3)

определяет в некоторой окрестности точки ^

M0 единственную неявную функцию

y = f(x), ïðè÷¼ì f(x0) = y0;

эта функция y = f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем точку x0.

^

Доказательство. Обозначим буквой W окрестность точки M0(x0; y0), в которой опре-

0 0 ^

делены и непрерывны функции F (x; y), Fy(x; y). Пусть для определенности Fy(M0) > 0.

Из леммы о сохранении знака непрерывной функции следует, что существует окрестность точки ^ 0

M0(x0; y0), обозначим е¼ снова W , в которой Fy(x; y) имеет знак, совпадающий со

0 ^

знаком Fy(M0).

Это означает, что при фиксированном x = xô функция F (xô; y) строго возрастает в

области W . При этом поскольку F (x0; y0) = 0, òî F (x0; y) > 0 ïðè y > y0, è F (x0; y) < 0 ïðè y < y0 в области W . Значит, существуют точки M1(x0; y0 ) 2 W è M2(x0; y0 + ) 2 W в которых F (M1) < 0, F (M2) > 0 (ñì. ðèñ. 2). Поскольку непрерывные в области W функции F (x; y0 ) è F (x; y0 + ) одного аргумента x в точках M1 è M2 соответственно принимают значения определенных знаков, то в силу леммы о сохранении знака существует 0-окрестность точки x0:

U 0 (x0) = fx : jx x0j < 0g;

в которой F (x; y0 ) < 0, F (x; y0 + ) > 0.

2

Рис. 2: Иллюстрация к доказательству теоремы 33.1.1.

Зафиксируем произвольно x = xô 2 U 0 (x0) и рассмотрим непрерывную функцию F (xô; y) одной переменной y. Согласно вышесказанному F (xô; y0 ) < 0, F (xô; y0+ ) > 0 и в силу первой теоремы Больцано - Коши существует y 2 (y0 ; y0 + ) такое, что F (xô; y ) = 0. Òàê êàê F (xô; y) строго возрастает, то такое значение y единственное. Таким образом, мы

доказали, что каждому xô 2 U (x0) ставится в соответствие единственное значение y òà- êîå, ÷òî F (xô; y ) = 0, ò. å. â î ê ð å ñ ò í î ñ ò è

= f(x; y) : jx x0j < 0; jy y0j < g

точки ^

M0(x0; y0) уравнение (33.3), действительно, определяет y как однозначную функцию от x: y = f(x).

В то же время предыдущее рассуждение, ввиду 1, показывает также, что f(x0) = y0. Именно, из того, что F (x0; y0) = 0 вытекает, что y0 и есть то е д и н с т в е н н о е значение y в интервале (y0 ; y0 + ), которое совместно с x = x0 удовлетворяет уравнению (33.3).

Докажем, что функция y = f(x) непрерывна в окрестности точки x0. Для точки x = x0

это получается непосредственно из предыдущего рассуждения, которое приложимо и к любому меньшему прямоугольнику с центром в точке ^

M0(x0; y0). Заменив число любым числом " < , найдем, как и выше, такое 0, чтобы для любого x из промежутка x0 ; x0 + соответствующее ему е д и н с т в е н н о е значение y, которое совместно с x удовлетворяет уравнению (33.3), расположено именно между y0 " è y0 +". Таким образом, при jx x0j < выполняется

jf(x) y0j = jf(x) f(x0)j < ";

что и доказывает непрерывность функции f(x) в точке x0.

Доказательство для любой точки x = xô аналогично доказательству для x = x0. Точка

^

Mô(xô; yô), ãäå yô = f(xô), удовлетворяет таким же условиям, как и точка M0(x0; y0), èáî F (xô; yô) = 0. Поэтому, как и выше, в окрестности точки Mô(xô; yô) уравнением (33.3) переменная y определяется как о д н о з н а ч н а я функция от x, непрерывная в точке x = xô. Но, именно ввиду однозначности, эта функция совпадает с f(x), и тем устанавливается непрерывность f(x) при x = xô.

Замечание 33.1. Теорема 33.1.1 гарантирует существование неявной функции лишь в некоторой достаточно малой окрестности точки ^

M0(x0; y0) и не говорит об аналитическом пред-

ставлении этой функции.

Замечание 33.2. Теорему 33.1.1 можно доказать при более слабых предположениях относительно F (x; y): можно вообще не требовать существование Fy0(x; y); достаточно, чтобы

3

при постоянном x функция F (x; y) монотонно возрастала (или монотонно убывала) с возрастанием y.

33.2.Дифференцируемость неявной функции

Усилим предположения относительно функции F (x; y) и тогда получим возможность установить существование производной для функции, задаваемой неявно уравнением (33.3).

Теорема 33.2.1. Пусть выполнены условия теоремы 33.1.1 и, кроме того, частная про-

0 ^

изводная Fx(x; y) непрерывна в окрестности точки M0, тогда выполняются заключения теоремы 33.1.1 и, кроме того, неявная функция y = f(x) имеет непрерывную производ-

ную в некотором интервале, содержащем точку x0.

Кроме того, если

0 ^

4. частная производная Fx(x; y) непрерывна в окрестности точки M0, òî

неявная функция y = f(x) дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку x0.

4

Список литературы

[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.

5