Лекция 29. Дифференцируемость композиции функций; производная по направлению

29.1.Дифференцируемость композиции функций

Теорема 29.1.1. Пусть выполнены следующие условия:

1.t0(t01; : : : ; t0k), x0(x01; : : : ; x0m) внутренние точки соответственно множеств T è X;

2.x0i = 'i(t01; : : : ; t0k) = 'i(t0), i = 1; m;

3.u0 = f(x01; : : : ; x0m) = f(x0);

4.функции xi = 'i(t) дифференцируемы в точке t0;

5.функция u = f(x) дифференцируема в точке x0.

Тогда сложная функция (29.1) дифференцируема в точке t0. При этом частные произ- водные этой сложной функции в точке t0 определяются формулами

Доказательство читайте в [1] íà ñòð. 506 508.

Следствие 29.1.2. Пусть в теореме 29.1.1 функции xi зависят только от одного аргу- мента t. Тогда мы имеем сложную функцию одной переменной

u = f(x(t)) = f(x1(t); : : : ; xm(t)):

du

Производная dt этой сложной функции определяется следующей формулой:

1

29.2.Инвариантность формы первого дифференциала

В лекции 27-28 мы ввели понятие первого дифференциала функции двух переменных. Дифференциал функции u многих переменных, когда аргументы x1; x2; : : : ; xm являются независимыми переменными, в точке M0(x01; x02; : : : ; x0m) можно представить в виде

Если аргументы дифференцируемой в точке M0(x01; : : : ; x0m) функции u = f(x1; : : : ; xm) являются дифференцируемыми функциями каких-либо независимых переменных t1; : : : ; tk:

причем x0i = 'i(t01; : : : ; t0k), i = 1; m, то дифференциал сложной функции

u= f(x1(t1; : : : ; tk); : : : ; xm(t1; : : : ; tk)):

âточке t0(t01; : : : ; t0k) по-прежнему имеет вид (29.3), íî dx1, : : :, dxm являются не прираще- ниями переменных x1, : : :, xm (как в случае, когда x1, : : :, xm независимые переменные),

а дифференциалами функций (29.4) в точке t0, ò. å.

ц и а л а. Оно следует из теоремы 29.1.1. Подробнее читайте в [1] íà ñòð. 509 510.

29.3.Производная по направлению; градиент

Частные производные от функции, по существу, являются производными в направлениях координатных осей. Естественно поставить вопрос об определении и вычислении производной по любому фиксированному направлению.

Пусть функция f(x; y) двух переменных задана в некоторой окрестности точки M0(x0; y0). Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором `0 = fcos ; cos g1, компоненты котоðого называют направляющими косинусами этого вектора. Проведем че- рез точку M0 ось l, направление которой совпадает с направлением вектора `0, возьмем на этой оси произвольную точку M(x; y) и обозначим через l величину направленного отрез-

êà M0M указанной оси2. Из аналитической геометрии известно, что координаты точки M определяются равенствами

x = x0 + l cos ; y = y0 + l cos :

На указанной оси l функция f(x; y), очевидно, является сложной функцией одной переменной величины l:

f(x; y) = f(x0 + l cos ; y0 + l cos ):

1Из аналитической геометрии известно, что если единичный вектор `0 в пространстве R3

осями координат углы , , , то координаты этого вектора равны fcos ; cos ; cos g. На плоскости Oxy этот вектор составляет с осями координат соответственно углы и = =2 , поэтому его координаты fcos ; cos g можно записать как fcos ; sin g.

2Величиной l направленного отрезка M0M оси l называется число, равное его длине, взятой со знаком плюс, если направление этого отрезка совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если направление этого отрезка противоположно направлению оси l.

2

Изменение параметра l соответствует изменению f вдоль оси l. Если эта функция имеет

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 29.3.1. Пусть функция f дифференцируема в точке M0(x0; y0). Тогда в этой точке функция f имеет производную по любому направлению l, определяемому единич- ным вектором `0 = fcos ; cos g, и эти производные находятся по формуле 3

Данная теорема и формула (29.6) легко обобщается на случай функции n переменных.

Производная функции f(x1; : : : ; xn) в точке M0(x01; : : : ; x0n) в направлении l, определяемом единичным вектором `0 = fcos 1; : : : ; cos ng, находится по формуле

Определение 29.1. Г р а д и е н т о м функции f(x1; : : : ; xn) в точке M0 называется век- тор, обозначаемый символом grad f и имеющий координаты, соответственно равные про-

@f @f

изводным @x1 , : : :, @xn , взятым в точке M0. Таким образом,

Используя понятие градиента функции, выражение (29.7) для производной функции f по направлению l, определяемому единичным вектором `0 = fcos 1; : : : ; cos ng, можно

представить в виде скалярного произведения векторов 4 grad f è `0:

4Напомним, что скалярное произведение двух векторов, определяемое как произведение модулей (длин) векторов на косинус угла между ними, в случае, когда векторы заданы координатами, равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

3

Утверждение 29.3.2. Градиент функции f(x1; : : : ; xn) в точке M0 характеризует на- правление и величину максимального роста этой функции в точке M0.

Доказательство. Перепишем формулу (29.8) â âèäå

направлению будет при cos ' = 1, т. е. когда направление вектора `0 совпадает с направ- лением grad f, при этом

@f

@l max

= jgrad fj:

Для выяснения геометрического смысла вектора grad f, введем понятие п о в е р х н о - с т и у р о в н я функции u = f(x; y; z).

Назовем п о в е р х н о с т ь ю у р о в н я функции u = f(x; y; z) каждую поверхность, на которой функция u = f(x; y; z) сохраняет постоянное значение, f(x; y; z) = = const: Нетрудно убедиться в том, что вектор gradf в данной точке M0(x0; y0; z0) ортогонален к той поверхности уровня функции u = f(x; y; z), которая проходит через данную точку M0.

В определении градиента участвуют частные производные. Поэтому формально он зависит от системы координат. Однако, приведенная геометрическая характеристика показывает, что на самом деле градиент выражает внутренние свойства функции и, таким образом, не зависит от выбора системы координат. Это свойство градиента называют его и н в а р и а н т н о с т ь ю.

Для записи градиентов и действий над ними удобно пользоваться формальным символическим вектором r ( набла"), который по определению имеет компоненты

Вектор r называют оператором Гамильтона.

С помощью вектора набла градиент записывают так:

т.е. умножение r на скалярную функцию производится по правилу умножения вектора

на скаляр.

Необходимо при этом иметь в виду, что символ r действует на стоящую за ним функ-

цию как дифференциальный оператор и обладает некоторыми свойствами, аналогичными свойствам производной. Например, если функции f и g ? имеют в точке частные произ-

водные по всем переменным, то в этой точке справедливо равенство

r(fg) = g rf + f rg;

ò. å.

grad (fg) = g grad f + f grad g;

4

Список литературы

[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.

5