Лекция 23. Компактные и связные множества

23.1.Классификация точек множества в Rn

Классификация точек множества в пространстве Rn идентична классификации точек множества на числовой прямой1 с той лишь разницей, что под "-окрестностью точки в Rn может пониматься кубическая или шаровая "-окрестность.

Пусть задано множество X Rn.

Определение 23.1. Точка a в н у т р е н н я я точка множества X, если существует "-окрестность точки a целиком содержащаяся в X.

Определение 23.2. Точка a г р а н и ч н а я точка множества X, если в любой "-окрест- ности точки a содержатся точки как принадлежащие X, так и не принадлежащие X.

Определение 23.3. Точка a множества X и з о л и р о в а н н а я точка множества X, если существует "-окрестность точки a , в которой нет ни одной точки из X, кроме самой точки a.

Определение 23.4. Точка a является точкой п р и к о с н о в е н и я множества X, если в любой "-окрестности точки a есть хотя бы одна точка из X.

Определение 23.5. Точка a п р е д е л ь н а я точка множества X, если в любой "- окрестности точки a содержится хотя бы одна точка из X, не совпадающая с a.

23.2.Свойства предельной точки

Теорема 23.2.1. Точка a является предельной точкой множества X тогда и только тогда, когда в любой проколотой "-окрестности точки a содержится бесконечно много точек из X.

Доказательство. Необходимость. Пусть a является предельной точкой множества X. Согласно определению 23.5 в любой шаровой "-окрестности точки a обязательно найдется точка x1 такая, что

 "1-окрестности точки a обязательно найдется точка x2: x2 2 X; x2 6= a; x2 2= O"2 (a);

ka x2k

ãäå "2 = 2 .

На k-м шаге выберем точку xk:

xk 2 X; xk 6= a; xk 2= O"k (a);

1Семестр 1, лекция 17.

1

Продолжив этот процесс и далее (до бесконечности), получим счетное множество точек fxkg в любой окрестности точки a.

Достаточность очевидна. Если в любой окрестности точки a содержится бесконечно много точек из X, то есть и одна, отличная от a. Теорема доказана.

Теорема 23.2.2. Точка a является предельной точкой множества X тогда и только тогда, когда существует последовательность точек из X, не совпадающих с a, которая сходится к a.

Доказательство. Необходимость. Если a = (a1; a2; : : : ; an) предельная точка множества X, то согласно предыдущей теореме в любой кубической окрестности точки a содержится бесконечно много точек из X (шаровая и кубическая окрестности эквива-

лентны). Следовательно, из них можно выделить последовательность точек, сходящуюся к a, следующим образом.

Возьмем произвольное " > 0. Обязательно найдется точка x1 2 X такая, что

ai " < x1i < ai + "; i = 1; n:

Сузим "-окрестность a вдвое. Выберем точку x2 2 X, x2 6= x1:

Значит, в любой окрестности точки a содержится бесконечно много точек из X, следовательно, найдется и одна, не совпадающая с a. Теорема доказана.

23.3.Открытые и замкнутые множества

Определение 23.6. Множество называется о т к р ы т ы м, если все его точки внутренние.

2

Определение 23.7. Множество называется з а м к н у т ы м, если оно содержит все свои предельные точки.

Замечание 23.1. Не следует понимать, что любое множество открыто или замкнуто. Мно-

жество

f(x; y) : x2 + y2 < 1g [ f(3; 3)g

согласно определению не является ни тем, ни другим. Кроме того, в первом семестре мы уже говорили, что, например, множество действительных чисел R замкнуто и открыто

одновременно.

Д/З: Аналогично тому, как это было сделано в лекции 17 первого семестра для числовых множеств, для множеств в пространстве Rn докажите следующие теоремы.

Теорема 23.3.1. Для того чтобы множество A Rn было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение2 A было замкнутым.

Теорема 23.3.2. Для того чтобы множество A Rn было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение A было открытым.

Теорема 23.3.3. Объединение конечного или счетного числа открытых множеств открытое множество.

Теорема 23.3.4. Пересечение конечного числа открытых множеств открытое множество.

Теорема 23.3.5. Пересечение конечного или счетного числа замкнутых множеств замкнутое множество.

Теорема 23.3.6. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнутое множество.

23.4.Компактные множества. Критерий компактности

Определение 23.8. Множество в пространстве Rn называется к о м п а к т н ы м, если оно ограниченное и замкнутое.

Пример 23.2. Пусть D = [0; 1] R1. D компактное множество, так как оно ограни- ченное и содержит все свои предельные точки. Множество G = [0; 1) R1 компактным множеством не является, так как не содержит предельную точку 1.

Множество является компактным тогда и только тогда, если всякая последовательность элементов множества содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу этого множества.

2Напомним, что если множество A является подмножеством множества B (A B), то разность множеств B n A называют дополнением множества A до множества B. Пусть A Rn. Разность множеств Rn n A называют дополнением множества A (до пространства Rn) и обозначают A.

3

Доказательство. Необходимость. Пусть K компактное множество, т. е. оно ограниченное и замкнутое. Рассмотрим произвольную последовательность fxkg K. Естественно, fxkg ограниченная последовательность. Согласно теореме Больцано - Вейер-

штрасса из этой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность fxkm g K, сходящуюся к некоторой точке a. Поскольку K замкнутое, то a 2 K,

так как все предельные точки принадлежат K. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть из всякой последовательности fxkg K можно выделить под-

последовательность fxkm g ! x , где x 2 K. Докажем сначала, что K при этом является

ограниченным.

От противного: предположим, что K неограниченное множество, т. е. 8 R 2 R 9x 2 K Rn: kxk > R. Тогда

äëÿ R = 1 9x1 2 K: kx1k > 1; äëÿ R = 2 9x2 2 K: kx2k > 2;

: : :

äëÿ R = k 9xk 2 K: xk > k;

и так далее. Выделенная таким образом последовательность fxkg K, k = 1; 2; : : :,

является неограниченной. Покажем, что из этой последовательности нельзя выделить схо-

дящуюся подпоследовательность.

Элементы любой последовательности fxkm g, являющейся подпоследовательностью fxkg,

следовательность fxkm g расходится. Это противоречит тому, что из всякой последовательности fxkg K можно выделить подпоследовательность fxkm g ! x , где x 2 K. Следовательно, предположение о неограниченности множества K неверно. K ограни-

÷åíî.

Докажем замкнутость множества K также методом от противного. Предположим, что K не является замкнутым, т. е. существует хотя бы одна предельная точка множества K,

не принадлежащая этому множеству. Следовательно, существует последовательность то- чек fxmg K такая, что fxmg ! a, где a 2= K. Значит, любая подпоследовательность этой

последовательности также сходится к точке a 2= K, что противоречит условию теоремы.

23.5.Связные множества

Рис. 1: Множества A, B связные, а множество C несвязное.

Определение 23.9. Множество D Rn называется с в я з н ы м, если любые две точки x0 è x1 этого множества D можно соединить непрерывной кривой

= f~r(t) = ( 1(t); 2(t); : : : ; n(t)); t 2 [ ; ]g;

целиком лежащей в D (рис. 2), ò. å. ~r( ) = x0, ~r( ) = x1, ~r(t) 2 D ïðè âñåõ t 2 [ ; ]. Â ïðî-

тивном случае множество называется н е с в я з н ы м. На рисунке 1 приведены примеры связных и несвязных множеств.

4

Рис. 2: Связное множество на плоскости.

Связными множествами являются, например, все пространство Rn, замкнутые и от-

крытые шары, замкнутые и открытые параллелепипеды. Приведем пример н е с в я з н о г о множества.

Пример 23.3. Пусть задано множество R2: = f(x1; x2) : x1 6= 0g. Это множество состоит из двух открытых множеств 1 = f(x1; x2) : x1 < 0g è 2 = f(x1; x2) : x1 > 0g (и, тем самым, открыто). Покажем, что множество несвязное (рис. 3).

Рис. 3: Несвязное множество .

Если взять две точки x0 è x1, такие что x01 < 0 è x11 > 0, то обе они принадлежат ,

поскольку их первая координата отлична от 0. Предположим, что некоторая непрерывная кривая соединяет точку x0 с точкой x1 è = f( 1(t); 2(t)); t 2 [ ; ]g.

Поскольку 1( ) = x01 < 0, 1( ) = x11 > 0 и функция 1(t) по предположению непрерывна при t 2 [ ; ], то по первой теореме Больцано - Коши 3 найд¼тся такое значение

t = t , ÷òî 1(t ) = 0. Но тогда точка (t ) = (0; 2(t )) не принадлежит множеству , поскольку е¼ первая координата равна 0. Значит, любая непрерывная кривая , соединяющая x0 ñ x1, не может целиком лежать в . Это означает, что множество не является связным.

Определение 23.10. Открытое связное множество называют о б л а с т ь ю.

3Семестр 1, лекция 23, теорема 23.2.1.

5