Лекция 32. Безусловный экстремум

32.1.Локальные экстремумы: необходимые условия

Определение экстремумов функций многих переменных не отличается от соответствующих определений для функций одной переменной.

Определение 32.1. Пусть функция f(x) = f(x1; : : : ; xm) задана в окрестности точки x0. Если для всех x из некоторой окрестности точки x0 справедлива оценка f(x) f(x0), òî

говорят, что f имеет в точке x0 í å ñ ò ð î ã è é ë î ê à ë ü í û é ì à ê ñ è ì ó ì.

В символьной записи: точка x0 2 D(f) называется точкой нестрогого локального максимума функции f(x), определенной в открытой области D(f), если

f(x) < f(x0), то говорят: f имеет в точке x0 ñ ò ð î ã è é ë î ê à ë ü í û é ì à ê ñ è ì ó ì. Аналогично вводятся локальный минимум и строгий локальный минимум.

Точки, в которых функция имеет локальный максимум или локальный минимум, называют точками е¼ л о к а л ь н о г о э к с т р е м у м а, и точками с т р о - г о г о л о к а л ь н о г о э к с т р е м у м а, если максимум или минимум является строгим.

Слово локальный здесь показывает, что число f(x0) сравнивается со значениями функции f(x) только в некоторой окрестности точки x0, а не во всей области опреде- ления f.

Теорема 32.1.1 (Необходимые условия экстремума) . Если функция f(x) = f(x1; : : : ; xm)

в точке локального экстремума x0 обладает частными производными первого порядка

Доказательство. Пусть функция f имеет в точке x0 локальный экстремум. Зафикси-

руем значения всех переменных x1; : : : ; xm, кроме какой-либо одной, например xk, равными их значениям в точке x0. Тогда полученная функция

f(x01; : : : ; x0k 1; xk; x0k+1; : : : ; x0m)

переменной xk будет иметь в точке x0k соответствующий локальный экстремум.

@f

Поэтому из теоремы Ферма1 для функций одной переменной вытекает, что @xk (x0) = 0. Таким образом можно доказать все равенства (32.1).

1Лекция 28 первого семестра. Пусть f(x) определена на интервале (a; b) и 1) в точке x0 2 (a; b) имеет наибольшее (наименьшее) значение; 2) в точке x0 существует производная функции f0(x0). Тогда обязательно f0(x0) = 0.

1

Замечание 32.1. Условие (32.1) не является достаточным для существования локального экстремума. Например, у функции двух переменных u = xy обе частные производные u0x è u0y обращаются в нуль в точке M0(0; 0), но никакого экстремума в этой точке M0(0; 0)

указанная функция не имеет, ибо эта функция равна нулю в самой точке M0(0; 0), а в сколь угодно малой -окрестности этой точки принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Замечание 32.2. Если функция f(x), имеет в точке x0 локальный экстремум, то ее диф-

ференциал в этой точке равен нулю или не существует. p

Например, функция f(x; y) = 1 x2 + y2 имеет максимум в точке M0(0; 0), частные

Следовательно, и

êå M0(0; 0) не существует.

Точки, в которых функция f дифференцируема и df = 0, называют с т а ц и о н а р -

íы м и т о ч к а м и функции f.

Âкаждой стационарной точке дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, однако наличие этого экстремума можно установить лишь с помощью д о с т а - т о ч н ы х у с л о в и й л о к а л ь н о г о э к с т р е м у м а, выяснению которых посвящен следующий пункт.

32.2.Достаточные условия локального экстремума

При формулировке достаточных условий локального экстремума функции m переменных u = f(x) важную роль играет второй дифференциал этой функции в исследуемой точке M0.

В лекции 30 мы говорили о том, что второй дифференциал функции u = f(x) в дан- ной точке M0 представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов аргументов dx1, : : :, dxm следующего вида:

Далее приводится материал из учебника [1], ñòð. 534 540.

2

32.3.Случай функции двух переменных

На практике часто встречается задача об экстремуме функции двух переменных. Приведем результаты, относящиеся к этому случаю, изложеные в [1] íà ñòð. 541 542.

7

Список литературы

[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.

8