Лекция 22. Предел последовательности в Rn

22.1.Последовательность точек в пространстве Rn

Если каждому натуральному k поставлена в соответствие точка xk = (xk1 ; xk2 ; : : : ; xkn) из пространства Rn, то говорят, что задана п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь 1 ò î ÷ å ê

x1; x2; : : : ; xk; : : :

пространства Rn. Е¼ обозначают fxkg.

Определение 22.1. Точку a 2 Rn называют п р е д е л о м п о с л е д о в а т е л ь н о с т и fxkg, если для любой "-окрестности точки a найдется номер N(") такой, что все члены последовательности с номерами большими, чем N, принадлежат этой "-окрестности. В этом случае пишут

и говорят, что последовательность точек fxkg пространства Rn сходится (или стремится) к точке a 2 Rn.

Если в определении 22.1 используется кубическая "-окрестность, то говорят о п о к о - о р д и н а т н о й сходимости последовательности fxkg к точке a:

8 " > 0 9 N(") 2 N : 8 k > N jxki aij < "; i = 1; n:

Если в определении 22.1 используется шаровая "-окрестность, то говорят о сходимости последовательности fxkg к точке a п о р а с с т о я н и ю или п о н о р м е:

Таким образом, сходимость по расстоянию последовательности fxkg к точке a 2 Rn îçíà- чает, что числовая последовательность (xk; a) сходится к нулю.

Оба определения различных видов сходимости выглядят, как и для числовых последовательностей, когда n = 1. Тогда расстояние между соответствующими точками (числами) равняется jxk aj.

Из определения покоординатной сходимости очевидным образом вытекает следующая

соответственно к 0 и 1.

Лемма 22.1.2. Определения покоординатной сходимости и сходимости по расстоянию эквивалентны.

1Последовательность в Rn это функция натурального аргумента со значениями в Rn.

1

Доказательство. Пусть последовательность fxkg сходится к точке a 2 Rn по рассто-

ÿíèþ:

8 " > 0 9 N(") 2 N : 8 k > N xk 2 O"(a):

Доказательство. Данная теорема непосредственно следует из лемм 22.1.2 è 22.1.1, утверждающих, что

сх-ть по расстоянию , покоординатная сх-ть , сх-ть n посл-тей координат :

Из теоремы 22.1.3 и свойств пределов числовых последовательностей следует, что если последовательность точек в Rn имеет предел, то он единственен, и что всякая подпо-

следовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и вся последовательность.

22.2.Арифметические свойства пределов

Из теоремы 22.1.3 и свойств пределов числовых последовательностей также вытекают

что и требовалось доказать.

2

22.3.Критерий Коши

Определение 22.2. Последовательность fxkg точек пространства Rn называется ф у н - ä à ì å í ò à ë ü í î é, åñëè

тельности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии меньшем, чем заданное ".

Теорема 22.3.1 (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность точек про- странства Rn была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундамен-

тальной.

даментальными. В силу критерия Коши для числовых последовательностей все n после- довательностей координат точек xk являются сходящимися. Что означает согласно теоре-

последовательностей k

фикировано (i 2 f1; 2; : : : ; ng), в этом случае также сходится и, значит, ограничена.

Теорема 22.3.2 (Теорема Больцано Вейерштрасса) . Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть дана ограниченная последовательность fxkg точек из Rn (ýòè точки можно поместить в куб с ребром 2R):

9 R 2 R : 8k 2 N ) jxki j R; i = 1; n:

Таким образом, последовательности координат точек xk будут ограниченными.

3

Из ограниченной последовательности первых координат fxk1 g согласно теореме Боль-

цано - Вейерштрасса для числовых последовательностей можно выбрать сходящуюся подпоследовательность fxp1k g. Последовательность вторых координат с этими же номерами fxp2k g ограничена и из нее так же можно выбрать сходящуюся подпоследовательность fxq2k g. Продолжая таким образом дальше получим:

fxq3k g ограничена, fxm3 k g сходится

. . .

fxrnk g ограничена, fxsnk g сходится.

В результате n шагов будет построена подпоследовательность натуральных чисел fskg,

такая, что сходящимися будут все подпоследовательности координат по этим номерам: xs1k ! a1, xs2k ! a2, : : :, xsnk ! an при k ! 1. Значит, из ограниченной последовательно-

ñòè fxsk g мы выделили сходящуюся подпоследовательность fxsk g ! a = (a1; a2; : : : ; an). Теорема доказана.

4