Метод Ньютона

3. Исследование задания для «ручного расчета»

Из условия для уравнения 1- 3х + cos(x) = 0, где, а выберем начальное приближение к корню:.

Для получения решения уравнения методом Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

В нашем случае

4. «Ручной расчет» трех итераций

Представим вычисления в виде следующей табл. 6.2-2b.

k	Xk	f(xk)
0	1	-1.4597
1	0.6200	-4.62•10-2
2	0.6071	-6. 7875 •10-5
3	0.6071	-6.7875 •10-5

5. Погрешность численного решения нелинейных уравнений

x*=0.607102; x₃=0.607100.

Погрешности результатов 0.000002.

Оценку погрешности результата, вычисленного методом Ньютона, можно проводить по формуле 6.2.3-11 в [2]:

Оценим погрешность после трех итераций:

Тогда .

6. Исследование задания для «расчета на ПК»

Исследование приведено в п. 1 настоящего примера.

7. Схема алгоритмов, программа и контрольное тестирование

Базовая схема алгоритма метода Ньютона приведена на рис.6.2.3-7 в [2], а программу студенты должны написать самостоятельно и провести контрольное тестирование.

7. Результаты «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью по программе, написанной по схеме алгоритма рис. 6.2-3-7 в [2] с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

E	n	x	f(x)
0.01	2	0.607
0.001	2	0.6071
0.0001	2	0.6071

7. Погрешность результата «расчета на ПК»

Принимаем за точное решение x*=0.607102,тогда погрешности результатов «расчета на ПК»

ε	Погрешность
0.01	0.0001
0.001	0.000
0.0001	0.000

7. Зависимость числа итераций от точности в логарифмическом масштабе

Для метода Ньютона деления по данным таблицы построим зависимость n(lgE)

ε	0.01	0.001	0.0001
n	2	2	2

Метод хорд

3. Исследование задания для «ручного расчета».

Проверка выполнения условий сходимости. Для сходимости метода необходимо знакопостоянствона отрезке[a;b].

Выбор начального приближения. Вид рекуррентной формулы зависит от того, какая из точекa илиb является неподвижной. Неподвижен тот конец отрезка[a;b], для которого знак функцииf(x) совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точкух₀.

Рекуррентная формула метода хорд (6.2.3-13) в [2]:

где - неподвижная точка.

Выше было показано, что для функции f(x)=1–3x+cosx <0на отрезке[0;1]неподвижной точкой является точкаx=b=1, так какf(1)>0.

Таким образом, полагая x₀=a=0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.

В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид

Условие окончания процесса уточнения корня. Оценку погрешности можно проводить по любой из формул (6.2.3-15 или 6.2.3-16) в [2].

4. «Ручной расчет» трех итераций

Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

Результаты вычислений удобно представить в виде следующей таблицы:

n	Xn	f(xn)
0	0	2
1	0.5781	0.1032549
2	0.6059	4.080772 •10-3
3	0.6070	1.590771•10-4

5. Погрешность численного решения нелинейных уравнений

x*=0.607102; x₃=0.607000.

Погрешность результата 0.000102.

Погрешность результата, вычисленного методом хорд, оцениваем по формуле 6.2-3-15 в [2]. Тогда после трех итераций

6. Исследование задания для «расчета на ПК»

Исследование метода хорд приведено в п. 1 настоящего примера.

6. Схема алгоритмов, программа и контрольное тестирование

Базовая схема алгоритма метода хорд приведена на рис.6.2.3-10 в [2], а программу студенты должны написать самостоятельно и провести контрольное тестирование.

6. Результаты «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью по программе, написанной по схеме алгоритма рис. 6.2-3-10 с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

E	n	x	f(x)
0.01	2	0.6060	4.08077Е-03
0.001	3	0.60706	1.590771Е-04
0.0001	3	0.607057	1.590771Е-04

6. Погрешность результата «расчета на ПК»

Принимаем за точное решение x*=0.607102,тогда погрешность результатов «расчета на ПК»

ε	Погрешность
0.01	0.0011
0.001	0.0004
0.0001	0.0004

6. Зависимость числа итераций от точности в логарифмическом масштабе

Для метода хорд по данным таблицы построим зависимость n(E)

ε	0.01	0.001	0.0001
n	2	3	3