3. Реализация программы.

Итак, нам необходимо решить задачу СМО и довести ее до программной реализации.

Из условия задачи видно, что система является многоканальной с отказами. Число каналов системы равно 3 (соответствует числу самолетов-дозаправщиков). Самолеты подходят к району дозаправки со средним интервалом в 150 секунд (среднее время появления события), значит интенсивность появления событий λ=1/2,5=0,4 самолета появляется в 1 минуту (150 секунд = 2,5 минутам). Самолет производит дозаправку, на что в среднем уходит 10 минут (среднее время обслуживания), тогда интенсивность обслуживания 1 самолета μ=1/10=0,1 самолета в минуту.

Граф состояний многоканальной СМО с отказами имеет вид:

S0

λ μ

S1

λ 2μ

S2

λ 3μ

S3

А для данной задачи получим:

S0

0,4 0,1

S1

0,4 0,2

S2

0,4 0,3

S3

Чтобы определить вероятность того, что самолет будет вынужден садится на запасной аэродром (вероятность отказа системы), надо посчитать вероятности нахождения системы в 3-ем, последнем состоянии. Для этого надо воспользоваться системой уравнений Колмогорова.

Смысл системы уравнений Колмогорова в том, что с левой стороны уравнения записываются все вероятности, с которыми система переходит из данного состояние в ближайшее, а с правой – вероятности, с которыми система возвращается в данное состояние. Причем, вероятности умножаются либо на интенсивность потока, либо на интенсивность обслуживания в соответствии с направлением стрелок.

Для нашей задачи система уравнений будет иметь вид:

0,1р₁=0,4р₀

0,4р₀+0,2р₂=0,4р₁+0,1р₁

0,4р₁+0,3р₃=0,4р₂+0,2р₂

0,4р₂=0,3р₃

р₀+р₁+р₂+р₃=1

Решим эту систему уравнений (одно из уравнений можно вычеркнуть, так как они все линейно зависимые). Получим:

р₀=0,042

р₁=0,169

р₂=0,338

р₃=0,451

р₀+р₁+р₂+р₃=0,042+0,169+0,338+0,451=1.

Таким образом, вероятность отказа системы равна ≈ 45 % (р₃=0,451).

Для программной реализации нам необходимо иметь не только ответ, чтобы проверять правильность работы программы, но и общий вид решения.

μр1=λр0 λр0+2μр2=λр1+μр1 λр1+3μр3=λр2+2μр2 λр2=3μр3 р0+р1+р2+р3=1

μр1=λр0 λр0+2μр2=(λ+μ)р1 λр1+3μр3=(λ+2μ)р2 λр2=3μр3 р0+р1+р2+р3=1

Уберем из системы 3-е уравнение, выразим все вероятности через р₃ и получим:

р₀=6μ³р₃/λ³

р₁=6μ²р₃/λ²

р₂=3μр₃/λ.

Так как сумма всех вероятностей равна единице, то легко найти р₃ :

р₀ +р₁ +р₂ +р₃=1

6μ³р₃/λ³ + 6μ²р₃/λ² +3μр₃/λ +р₃=1

(6μ³+6μ²λ+3μλ²+λ³)р₃/λ³=1

р₃= λ³/(6μ³+6μ²λ+3μλ²+λ³).

Программу нахождения вероятности того, что самолет будет вынужден садиться на запасной аэродром, напишем с помощью языка программирования Pascal.

Пояснения к программе.

1. Ежедневное количество тренировочных вылетов вводится пользователем, и присваивается соответствующей переменной n.

2. В нашей схеме СМО количество каналов равно 3. Отказ системы происходит, когда заняты все каналы. Таким образом, если количество вылетов n≤3, то очевидно, что отказа системы не будет, а следовательно, ее вероятность станет равна нулю (р:=0). Тогда необходимо делать проверку вводимой пользователем информации, и при n≤3 выводить результат, а в противном случае считаем вероятность отказа системы.

3. Самолет, нуждающийся в дозаправке, выходит в район дозаправки с вероятностью 0,9. Обозначим эту вероятность r. Тогда в программе мы должны проверять данное условие r≤0,9, что реализуется с помощью оператора функции random(1), который возвращает случайное число от 0 до 1 и это значение мы присваиваем r. Цикл проверки идет от 1 до n.

4. Выше мы вывели формулу подсчета вероятности отказа. Для реализации программы добавим функцию function p3, которая и будет предназначена для нахождения искомой вероятности р.

5. Применив еще три дополнительные функции function p0, function p1, function p2, будем выводить на экран результаты соответствующих вероятностей: вероятность попасть в зону дозаправки (р0); вероятность того, что в зоне дозаправки окажется один самолет (р1); вероятность того, что в зоне дозаправки окажется два самолета (р2).

6. Чтобы у пользователя была возможность просмотреть результаты и получить новые при новом количестве вылетов, вводится соответствующий запрос: «Для повтора нажмите 1, для выхода из программы нажмите 2.».

Программа.

program MOIM_42;

uses crt;

var n,i: byte;

r: real;

p: real;

label m1; m2;

function p3: real;

const l=0.4; m=0.1;

var l3,l2,m3,m2: real;

begin

l3:=sqr(l)*l;

l2:= l*l;

m3 := sqr(m)*m;

m2:= sqr(m);

p3:= l3/(6*m3+6*m2*l+3*m*l2+l3);

end;

function p2: real;

const l=0.4; m=0.1;

begin

p2:=(3*m*p3)/l;

end;

function p1: real;

const l=0.4; m=0.1;

begin

p1:=(6*sqr(m)*p3)/sqr(l);

end;

function p0: real;

const l=0.4; m=0.1;

var m3,l3 :real;

begin

m3 := sqr(m)*m;

l3:=sqr(l)*l;

p0:=(6*m3*p3)/l3;

end;

BEGIN

m1: clrscr;

textcolor (11);

write ('Введите количество вылетов за текущий день n=’);

readln (n);

if n<=3 then

begin

p:=0;

textcolor (11);

writeln;

writeln ('Вероятность вынужденой посадки:’, p:4:3);

textcolor (13);

writeln ('Для повтора нажмите 1, для выхода из программы нажмите 2’);

readln (i);

if i=1 then goto m1

else goto m2;

end;

for i:=1 to n do

r:= random(1);

if r<=9/10 then

begin

p:= p3;

end;

textcolor (10);

writeln ('Вероятность попасть в зону дозаправки:’,p0:4:3);

writeln ('Вероятность того, что в зоне дозаправки 1 самолет:’, p1:4:3);

writeln ('Вероятность того, что в зоне дозаправки 2 самолета:’, p2:4:3);

textcolor (11);

writeln;

writeln ('Вероятность вынужденной посадки:’, p:4:3);

textcolor (13);

writeln ('Для повтора нажмите 1, для выхода из программы нажмите 2.’);

readln (i);

if i=1 then goto m1;

m2: END.

Список литературы.

1. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н. Фридман; под ред. проф. Н.Ш.Кремера. - М.: Банки и Биржи, ЮНИТИ, 1997. - 407 с.

2. Турбо Паскаль 7.0 - К.: Торгово-издательское бюро ВНV, 1996 - 448 с.: ил.

3. В.В.Годин, Н.В.Маджуга. Математические основы моделирования -М.: ГАУ, 1992.

4. В.В.Годин, Н.В.Маджуга. Математические основы информатики. -М.: ГАУ, 1992.

5. Замков О.О.,Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. -М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, Издательство «ДИС», 1997. -368 с.

15