Обработка результатов измерений содержащих случайные погрешности
Исходные данные для выбора закона распределения получают из гистограммы. Вначале определяют
интервал Х max X min и разбивают его на r- интервалов величиной ΔХi. (i=1,2,3…r).Далее
подсчитывают относительные частоты mi-попадания
результатов в интервал ΔХi:
Pi mni ,
Средняя плотность получается делением на ΔХi:
p |
1 |
P |
mi |
. |
|
|
|||
i |
X i |
i |
n X i |
|
|
|
|||
Обработка результатов измерений содержащих случайные погрешности
•По результатам расчета строится график- гистограмма
P |
i |
X |
Xi |
Обработка результатов измерений содержащих случайные погрешности
•Пример.
•Было выполнено 100 измерений значения напряжения.
•Результаты наблюдений лежат в диапазоне 8,911-8,927 мВ.,
т.е. зона разброса результатов наблюдений составляет 0,016 мВ. Весь диапазон удобно разделить на восемь
равных интервалов через 0,002 мВ. Для каждого интервала |
|
• определяется |
mi , Pi и строится таблица, а по ней |
-гистограмма. Из таблицы и гистограммы определяются
X 8,91936 мВ, sX 0,0028 мВ
•Т.е. то, что необходимо для определения формулы распределения.
Обработка результатов измерений содержащих случайные погрешности
• Закон распределения получим подставив значения среднего арифметического и дисперсии
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
x 8,91936 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pX x |
|
|
|
|
2 |
|
0,0028 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
. |
|||
0,0028 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обработка результатов измерений содержащих случайные погрешности
•Далее возникает вопрос, чем объясняется расхождение между гистограммой, полученной при обработке опытных данных и подобранным теоретическим распределением: только случайными обстоятельствами, связанными с малым числом наблюдений или в том, что результаты наблюдений имеют иное распределение. Ответ на данный вопрос могут дать методы проверки статистических гипотез.
•Например определение распределения Пирсона:
2
Погрешности косвенных измерений.
•При косвенных измерениях вместо интересующей нас величины измеряются другие величины, связанные с искомой величиной некоторой функцией. Например вместо интересующей нас величины Y измеряются величины , связанные с Y
• зависимостью Y f X1; X2 ; ......Xn В ходе экспериментов в результате измерения получают значения , которые отличаются от истинного значения на величину погрешности. Таким образом
y f x1 |
|
1; ; x2 |
|
2 ;.......; xn n . |
|||||||||||
|
|
f |
|
|
|
f |
|
|
|
f |
|
|
|
f |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
x1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
xn |
|
|
x1 |
|
x |
|
xn |
||||||||||
i 1 |
|
xi |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Погрешности косвенных измерений.
•Если необходимо оценить случайную погрешность косвенных измерений, то расчет осуществляется с помощью следующей формулы
|
2 |
|
f |
2 |
|
2 |
|
|
f |
|
2 |
|
2 |
|
f |
|
2 |
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
xn |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
||
•Формула справедлива для случая когда погрешности не коррелированы. Если же коррелированы,то
Y2 x21 2 x1 x2 x22
•где - коэффициент корреляции.
Погрешности косвенных измерений.
•Примеры
•а) Функция представляет собой сумму измеренных
величин, взятых с весовыми коэффициентами :
n
Y аi Xi а1 X1 а2 X 2 .....аn X n
i1
•Частные производные равны соответственно: .
• |
.f |
; |
f |
.....и |
f |
а |
, а |
2 |
......а |
n |
|
|
|
|
|
||||||||
|
X1 |
|
X 2 |
X n |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
а1 X1 а2 |
X 2 |
....... аn X n |
|||||||
2 |
а2 |
2 |
а2 |
2 |
...... а2 |
2 |
Y |
1 |
X1 |
2 |
X 2 |
n |
X n |
Погрешности косвенных измерений
По результатам измерения напряжения U и сопротивления R косвенным образом измерена мощность:
Производные |
P |
|
|
U 2 |
. и |
|
P |
|
|
2 U |
|
|
|||
R |
R2 |
|
U |
|
|
R |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P |
2U |
U |
U 2 |
R |
|
|
P2 |
4U 2 |
U2 |
U 4 |
R2 |
||||
R |
R2 |
|
|
|
R2 |
R4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||