1.6.4. Произвольные логические функции – днф и кнф

 

Предположим, что произвольная логическая функция nаргументов задана единственным набором аргументов, при котором эта функция принимает значение1.

Составим конъюнкцию (логическую функцию И) от всехnаргументов: аргументы, которые в указанном наборе равны0,возьмем со знаком инверсии, а аргументы, равные1в указанном наборе, - без знака инверсии, так как согласно определению конъюнкции, чтобы логическая функцияИ принимала значение1, необходимо, чтобы все аргументы были равны1.

 

Пример 1.6.4-1.Задана логическая функция от 4 аргументовХ1, Х2, Х3, Х4,которая принимает значение1при набореХ1=0, Х2=1, Х3=1, Х4=0и0при всех остальных наборах.

Составим выражение для этой функции:

Предположим, что произвольная логическая функция nаргументов задана единственным набором аргументов, при котором эта функция принимает значение0.

Составим дизъюнкцию (логическую функцию ИЛИ) от всехnаргументов следующим образом: аргументы, равные0в заданном наборе, возьмем без знака инверсии, а аргументы, равные в заданном наборе1, - со знаком инверсии, так как согласно определению дизъюнкции, чтобы логическая функция ИЛИпринимала значение0, необходимо, чтобы все аргументы были равны0.

 

Пример 1.6.4-2. Задана логическая функция от четырех аргументов Х1, Х2, Х3, Х4,которая принимает значение 0 при следующем наборе Х1=0, Х2=0, Х3=1, Х4=1 и 1 при всех остальных наборах.

Составим выражение для этой функции:

Произвольная логическая функция, заданная перечислением всех наборов аргументов, при которых она принимает значение 1, определяется следующим образом: для каждого из этих наборов составляется конъюнкция, а затем образуется дизъюнкция всех этих конъюнкций.

 

Пример 1.6.4-3.Предположим, что функция 4 аргументовХ1, Х2, Х3, Х4принимает значение1при наборах:

Х1=1 Х2=0 Х3=1 Х4=0

Х1=0 Х2=0 Х3=1 Х4=1

Х1=1 Х2=1 Х3=0 Х4=1

и 0на всех остальных наборах.

Тогда функция будет иметь вид:

Для любого из перечисленных наборов функция F(Х1, Х2, Х3, Х4)будет представлять собой дизъюнкцию одной1и остальных0, т.е. будет равна1, а на остальных наборах будет представлять собой дизъюнкцию одних нулей, т.е. будет равна0.

Произвольная логическая функция, заданная перечислением всех наборов аргументов, при которых она принимает значение 0, определяется следующим образом: для каждого из этих наборов составляется дизъюнкция, а затем образуется конъюнкция всех этих дизъюнкций.

Пример 1.6.4-4.Предположим, что задана функция от 3 аргументовF(Х1,Х2,Х3), которая принимает значение0при наборах

Х1=0 Х2=1 Х3=1

Х1=1 Х2=0 Х3=0

Х1=0 Х2=0 Х3=0

и 1при всех остальных наборах.

Тогда функция, сформированная таким образом, будет иметь вид:

Для любого из перечисленных наборов функция F(Х1, Х2, Х3)будет представлять собой конъюнкцию одного нуля и остальных единиц, то есть будет равна0, а на остальных наборах будет представлять конъюнкцию одних единиц, то есть равна1.

Из вышеизложенного можно сделать следующий вывод: произвольная логическая функция от nаргументов может быть выражена через логические функцииИ, ИЛИ, НЕ(конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание).

Логические функции, представляющие собой дизъюнкции отдельных членов, каждый из которых есть в свою очередь некоторая функция, содержащая только конъюнкции и инверсии, называются логическими функциями дизъюнктивной формы.

Логические функции дизъюнктивной формы, в которых инверсия применяется лишь непосредственно к аргументам, например, но не к более сложным функциям, как, например, называютсянормальными дизъюнктивными функциями.

Если каждый член дизъюнктивной нормальной функции от nаргументов содержит всеnаргументов, часть из которых со знаком инверсии, а часть без него, то функция называетсясовершенной (СДНФ). Например, функция

представляет собой СДНФ.

Каждый член такой формы обращается в 1лишь при некотором единственном наборе аргументов, а число членов равно числу разных наборов, обращающих функцию в1.

В несовершенных дизъюнктивных нормальных функциях от nаргументов некоторые члены содержат количество аргументов меньшее, чемn. Такие члены принимают значение1при нескольких наборах аргументов. Потому и число членов в несовершенных формах меньше, чем число членов в совершенных формах этих же функций.

Аналогично, функция

представляет собой совершенную конъюнктивную нормальную форму логических функций (СКНФ).

 Пример 1.6.4-5.Составить выражение для функции, принимающей значение1на наборах2 и6.

Запишем числа 2и6в двоичной системе:

2в двоичной системе –10(или010),

6в двоичной системе –110.

Это значит, что искомая функция будет функцией от 3 переменных: Х1, Х2, Х3.

Наборы, на которых функция обращается в 1: 

(2) Х1=0 Х2=1 Х3=0

(6) Х1=1 Х2=1 Х3=0.

 

Составим выражение для функции

Функция F(Х1, Х2, Х3)–СДНФ.

Пример 1.6.4-6.F=0на наборах2, 4.Составить выражение для этой функции: