1.Проверка независимости

по предпочтению

2.Выбор вида ФЦ

3.Построение частных ФЦ

4.Нахождение шкалирующих

коэффициентов

5.Проверка согласованности

Рис.13 Этапы построения многофакторной функции ценности

В качестве примера рассмотрим построение условной многофакторной функции ценности путем ее декомпозиции в однофакторные, но, в конечном счете соответствующие адекватному отражению системы предпочтения лица, принимающего решение. Итоговый набор критериев состоит из четырех критериев {x1, x2, x3, x4}.

Процесс построения многофакторной функции ценности начинается с установления независимости по предпочтению на выделенном пространстве критериев.

Процедура проверки допущения, что X не зависит по предпочтению от своего дополнения X^-, когда каждое из множеств содержит более чем 1го критерия, состоит из двух этапов.

1. Проверки сохранения порядка предпочтительности относительно критериев множества X при меняющихся значениях из множества X^-.

2. Проверки сохранения отношения безразличия, определенного на множестве X при любых значениях критериев множества X^-.

Сохранение отношения безразличия на множестве X означает идентичность кривых безразличия (поверхностей безразличия, если X содержит более двух критериев), построенных при различных значениях критериев множества X. Существование кривой или поверхности безразличия описывается множеством точек, для которых справедливо

С кривыми безразличия связано определение коэффициента замещений, который в некоторой точке есть тангенс угла наклона касательной к кривой безразличия в этой точке. Для одинаково направленных по предпочтительности критериев тангенс угла наклона берется с обратным знаком. В этом случае идентичность кривых безразличия означает, что коэффициенты замещения в равных точках не меняются при изменении значений критериев из дополняющего множества. Особую трудность вызывает получение количественных оценок коэффициента в каждом конкретном случае. Однако для упрощения исследования нас в большей степени должно интересовать не значение коэффициента в каждой точке (x_i, x_j), а лишь сам факт его изменения или сохранения для пар (x_i, x_j) при различных значениях оставшихся критериев.

Для удобства дальнейшего исследования введем понятие профиля.

Профилем альтернативы A_i называется четверка чисел {x1_i , x2_i , x3_i, x4_i} характеризующие действие A_i . Типичный профиль представлен на рис.14

Критерии

X1 X2 X3 X4

наилучшие X1_max X2_max X3_max X4_max

значения

наихудшие

значения X1_min X2_min X3_min X4_min

Рис.14

Для нашего условного примера предположим, что все критерии являются направленными на максимум, независимыми по предпочтению и мы можем построить аддитивную функцию ценности вида 4.2.

Определение числовых параметров многофакторной функции ценности.

После установления вида многофакторной функции ценности процедура построения соответствующих однофакторных моделей сводится к выполнению последовательности этапов.

• подготовка к построению;

• идентификация подходящих качественных характеристик;

• установление количественных ограничений;

• подбор вида однофакторных функций ценности;

• проверка согласованности.

Следует добавить, что речь в условном примере идет о построение условных однофакторных функций ценности для каждого из шести критериев.

Установление количественных значений области изменения критериев.

Количественные значения области изменения критериев указываются ЛПР до процедуры построения функций. Функция ценности хороша как раз тем, что предоставляет возможность систематизации предпочтений ЛПР для выбора наилучшего действия при заранее определенных оценках по всем выбранным критериям. Тогда область изменения значений критериев ограничивается низшей и высшей оценкой, выделенными по предоставленной информации от ЛПР.

Проверка свойств монотонности на интервалах изменения критериев.

Процедура проверки сводится к установлению некоторых предположений о качественной структуре строящейся однофакторной функции.

Вывод о монотонности (немонотонности) функции ценности следует из результатов опроса ЛПР относительно направления возрастания предпочтений для критерия.

Если для ЛПР большие значения критерия всегда предпочтительны меньших значений, то функция ценности будет монотонно возрастающей.

Если же, на всем множестве определения более предпочтительны меньшие значения критериев, то функция ценности убывает.

Если наиболее предпочтительным оказывается промежуточное значение критерия:

т.е. большие или меньшие значения критерия характеризуются более низкой предпочтительностью, то функция ценности является немонотонной.

Теперь исследуем поведение однофакторных функций ценности, обладающих свойством монотонности, на выпуклость (вогнутость). Если ЛПР согласен платить все меньше и меньше за фиксированное увеличение  по X по мере роста аргумента (т.е. он считает, что

V_x(x + ) - V_x(X) < V_x(X) - V_x(x - ) при x ,  > 0

фактически это означает, что дешевле перейти из X в X + , чем из X -  в X каким бы не были значения X и величина смещения ), то мы имеем при таком качественном определение приемлемости строгую выпуклость однофакторной функции V_x. Выражаясь в терминах классической экономики - налицо уменьшение маргинальной ценности. В обратном случае подходящей формой для V_x считается вогнутая функция.

Нахождение вида одномерных функций ценности.

Определение свойств однофакторных функций ценности позволяет перейти к этапу подбора конкретного вида функций и получить V_x c приемлемой точностью, установив их численные значения в небольшом числе точек.

Для построения конкретного вида однофакторных функций ценности применяются различные формальные методы. Одним из наиболее распространенных является метод половинного деления по ценности, опирающегося на ниже приведенные опорные определения.

Определение. Пара (x_a, x_b) называется эквивалентной по разности ценности паре (x_c, x_d), где x_a < x_b и x_c < x_d, если согласившись перейти из x_b в точно x_a за определенное увеличение y, мы согласились бы перейти из x_d точно в x_c за то же самое увеличение y.

Определение. Средней по ценности точкой x_c интервала [x_a, x_b] значений критерия X, называется такая точка, что пара (x_a, x_c) и (x_c, x_b) эквивалентны по разности ценности. При этом следует иметь ввиду, что для двух критериев, участвующих в определениях выполняется условие соответственных замещений [2].

При использовании не 2х критериев, а N, следует привести следующие замечания:

Во-первых, для определения средней по ценности точки x_c интервала [x_a, x_b] привлекается N-1 критериев из определенного пространства критериев.

Во-вторых, если принимающий решение уступает некоторое количество единиц по N-1 критерием при переходе из x_a и x_c, то для того, чтобы был осуществлен переход из x_c в x_{b ,} он должен быть согласен уступить равно столько же единиц по N-1 критериям.

Кроме того, перед построением для каждой однофакторной функции ценности необходима процедура нормирования, которая заключается в том, что наилучшему значению x_j присваивается значение функции 1 (V_j = 1), а наихудшему - 0 (V_j =0) при j = [1, n], где n - количество выделенных критериев.

Методика построения однофакторных функций ценности состоит в следующем:

1. находим среднюю по ценности точку интервала [x₀ ; x₁] и обозначим ее x_{0,5 ,} при этом полагаем, что V^*_x(x_0,5) = 0,5.

2. находим среднюю по ценности точку x_0,75 интервала [x_0,5 ; x₁] и полагаем, что V^*_x(x_0,75) = 0,75.

3. находим среднюю по ценности точку x_0,25 интервала [x₀ ; x_0,5] и полагаем, что V^*_x(x_0,25) = 0,25.

4. для проверки согласованности следует удостовериться, что x_0,5 средняя по ценности точка интервала [x_0,25 ; x_0,75]; при невыполнении данного положения следует изменять эти точки до получения согласованности

Данные точки наносятся на график и через них соответствующим образом, проводится кривая, но можно воспользоваться и специальным математическим аппаратом или ПО и подобрать соответствующую математическую функцию, описывающую поведение функции ценности

Расчет шкалирующих констант.

Методика установления значений коэффициентов основана на поиске равноценных профилей и получения системы уравнений относительно шкалирующих констант _i.. В общем виде последовательность расчетов состоит из следующих этапов:

1. ранжирование шкалирующих констант;

2. определение относительных значений шкалирующих констант;

3. определение численных значений шкалирующих констант.

Для удобства вычислений введем некоторые обозначения.

I - множество критериев (для нашего условного примера I{1,2,3,4})

T - подмножество множества I.

T ^– - дополнение подмножества T до I.

w_j - худшее значение j - го критерия.

b_j - лучшее значение j - го критерия.

Тогда для положительно ориентированных шкал имеем: w_j  x_j  b_j

Для отрицательно ориентированных шкал имеем: b_j  x_j  w_j

Обозначим за X^T профиль следующего вида:

Из того, что , а , следует .

1. Ранжирование

Вначале установим некоторые неравенства для _j, где _j14. Определим профили X^{1}, X^{2}, X^{3},, X^{4}..

X1 X2 X3 X4

наилучшие значения --X1_max---X2_max----X3_max ---X4_max ---

наихудшие значения ---X1_min-----X2_min----X3_min----X4_min--

x^{1}

x^{2} Рис.15

x^{3}

x^{4}

и попросим ЛПР проранжировать их с точки зрения предпочтительности. Профили для x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4} представлены на рис.15 При проведении данной процедуры ЛПР задают вопрос следующего типа: “Вам предложен наихудший профиль (X1_min,; X2_min; X3_min; X4_min), где все значения критериев находятся на самом наихудшем уровне при фиксированных значениях по оставшейся группе критериев. У Вас есть возможность поднять один из рассматриваемых показателей до наилучшего уровня. Какой из показателей Вы выберете?” Результатом подобного опроса является некоторая ранжировка значений _j, i14. Она может быть в виде следующего соотношения:

После этого, можно предложить ЛПР сравнить профили {1} и {2,3,4} для выявления более тонких соотношений между шкалирующим константами. Если в результате будет получено, что

то можно сделать вывод, что ₁>0,5.

2.Определение относительных значений шкалирующих констант.

Относительные значения шкалирующих констант получаются (определяются) из сравнения некоторым обоазом выбранных профилей. Из полученного неравенства ₁>₂>₃>₄ возьмем первую пару и сравним два профиля следующего вида

(x₁; w₂; w₃;w₄) и x^{2}

В этой процедуре нам необходимо найти такой уровень x₁ при котором наступает момент безразличия в выборе между ними. При этом значения оставшихся критериев зафиксированы нижнем уровне. Допустим ЛПР указывает на то, что отношение безразличия наступает при x₁, т.е

(x₁; w₂; w₃;w₄)  (w₁; b₂; w₃; w₄)

V(x₁; w₂; w₃; w₄)= V (w₁; b₂; w₃; w₄)

₁V₁(x₁)= ₂

Теперь, проведя подобную процедуру несколько раз, мы можем получить некоторые соотношения для оставшихся .В результате имеем следующую систему уравнений

₁V₁(x₁)= ₂

₂V₂(x₂)= ₃

₃V₃(x₃)= ₃

₁+₂+₃+₄=1,

которая позволит получить численные значения шкалирующих констант, поскольку однофакторные функций V₁, V₂, V₃, V₄ уже построены к этому моменту.

Используя полученную систему уравнений и имея конкретный вид однофакторных функций ценности V₁, V₂, V₃, V₄ можно определить и вид многофакторной функции ценности по формуле 4.2.

Дополним процедуру расчета шкалирующих констант в многомерной функции ценности еще одним способом отыскания численных значений. Следует отметить, что процесс отыскания функции  родственнен задаче установления подходящего вероятностного распределения на конечном выборочном пространстве. Очень часто, при определении весовой меры , точно так же как и при нахождении численных значений вероятностной меры нецелесообразно начинать с определения численных значений ₁, ₂…_n. Весьма целесообразной будет процедура установления численных значений для подмножеств (т.е. определения (Т)). Затем следует расчитать условные числовые значения параметра , опираясь на определение условных весовых функций. Например, (B/E)= (B) / (E) является условной весовой функцией, для BE, которая характеризует «весовую важность» подмножества B в множестве E.

Данная процедура весьма удобна при количестве >=10, а также при иерархической структуре выделенного множества критериев.

I

E F

A B C D

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

Рис.16

Согласно иерархии, представленной на рис. 16 определим условные весовые функции:

(E)=0.6 (F)=0.4

(A/E)=0.5(B/E)=0.5

({2}/B)=0.5 (C/F)=0.8

({3}/B)=0.3 (D/F)=0.2

({4}/B)=0.2 и т.д.

Теперь найдем значение ₃: ₃ = ({3}/B) (B/E) (E) = 0,09.

Заключительным этапом построения однофакторных функций ценности является процедура согласования, т.е. проверки, насколько точно каждая из построенных одномерных функций отражает структуру предпочтений ЛПР по соответствующему критерию. Очевидно, что в силу субъективности представленных оценок абсолютная точность недостижима. Данное утверждение относится и к многомерному виду функции ценности. Являясь неабсолютной формой представления, он лишь отражает предпочтения ЛПР на данный период и изменение ситуации неизбежно повлечет изменение структуры предпочтения и формы многофакторной функции ценности.