Пример процедуры - процедура Михайловского

Процедура начинается с вычисления начального эффективного решения.

Шаг Д. (Если первое же решение оказалось неудовлетворительным). ЛПР делит всё множество критериев на три непересекающиеся подмножества: К₁,К₂ и К₃ такие, что К₁К₂К₃ = {1,m}.

В К₁ относятся те критерии (номера их), которые ЛПР считает необходимым улучшить в текущей задаче тотчас.

В К₂ - те, для которых допустимы некоторые ухудшения. Для каждого К  К₂ ЛПР определяет также порог допустимости l_k (меньший текущего значения).

В К₃ - для которых ухудшение недопустимо, но и улучшение не является обязательным.

Шаг А. В систему ограничений задачи добавляются следующие неравенства:

,

где z_k - значение соответствующих критериев, полученных на предыдущей итерации, а _k рассчитывается по формуле:

, где

- соответственно максимально и минимально возможные значения

с_jkx_j на D.

Целевая функция записываются в виде R min.

Шаг Б. Решается задача, полученная на шаге А.

Шаг В. Отсутствует.

Шаг Г. Процедура заканчивается либо при получении удовлетворительного (с точки зрения ЛПР) решения, либо при повторении решения на последовательных итерациях. Если нет - переходим к шагу А и т.д.

Процедура Зайонца - Валлениуса

В ее основе заключается следующее утверждение: Пусть В - некоторый базис системы ограничений рассматриваемой задачи. Тогда, если для коэффициентов целевых функций справедливо соотношение

,

то и для оценок () столбцов матрицы ограниченийА при целевых функциях исоответственно справедливо следующее утверждение

.

Проведение процедуры начинается с назначения начального вектора . Особых правил определения начального вектора₀ не существует. Если ЛПР самостоятельно не назначает веса, то можно рекомендовать следующий способ их нахождения: каждому критерию приписывается взвешенное значение ₀ . Затем выполняются шаги Б и В стадии оптимизации.

Шаг Б. При помощи алгоритма симплекс-метода находится соответствующее вектору ⁰ решение x^*.

Шаг В. Выявляется множество эффективных внебазисных переменных, таких, введение которых в базис, оптимальный при векторе весовых коэффициентов ⁰, приведет к получению нового решения, оптимального по Парето. С этой целью каждой внебазисной переменной с номером j решается задача линейного программирования

,

при ограничениях

Если оптимальное решение этой задачи меньше нуля, то соответствующая внебазисная переменная эффективна (из этого следует, что все ^к_j <0). Если данная внебазисная переменная уже анализировалась на предшествующих шагах, она исключается из дальнейшего рассмотрения.

Затем выполняется стадия анализа, на которой шаги Г и Д объединены.

Шаги Г и Д. По каждой внебазисной переменной ЛПР предъявляется весь вектор , представляющий собой вариант компромисса между критериями за счет введения в базисj-ой внебазисной переменной. ЛПР на вопрос о желательности такого компромисса дает один из ответов: да; нет; не знаю.

После этого вновь наступает стадия оптимизации.

Шаг А. Определяется новый вектор ^’ как допустимое решение следующей системы уравнений и неравенств:

,

,

,

,

где J¹,J²,J³ - множество номеров внебазисных переменных, определяющих соответственно желательный, нежелательный компромисс, и тех внебазисных переменных, по которым вопрос о желательности компромисса остался без ответа;  - заданное малое число.

На последующих итерациях процесса к этой системе добавляются новые уравнения и неравенства. Полученный таким образом вектор ¹ приведет к целевой функции - такой, что в соответствующий оптимальный базис предположительно войдут внебазисные переменные предыдущего шага, по которым компромисс был желателен, и не войдут переменные, определяющие нежелательный компромисс.

Вся процедура продолжается до получения эффективного решения, у которого нет, ранее не просмотренных эффективных внебазисных переменных.

Вопросы, предлагаемые ЛПР в этой процедуре, по существу сводятся к сравнению многомерных альтернатив. Это довольно сложная задача. Экспериментальные данные показывают, что при решении подобного рода задач люди часто допускают ошибки, приводящие к нарушению последовательности системы предпочтений. Использование данной процедуры целесообразно в предположении, что ЛПР обладает достаточно высокой квалификацией в предметной области, к которой относится данная задача принятия решений.