5. Принятие решений в условиях многокритериальности

5.1 Источники многокритериальности в зпр в управлении экономикой

В общем, любая задача принятия решения в условиях рыночной экономики является многокритериальной. Поэтому отдельного внимания заслуживают вопросы поиска причин подобной многокритериальности и возможности использования для этих целей соответствующих математических методов.

Известно, что на протяжении длительного периода социалистической экономики конструирование так называемых оценочных показателей (примеры: удельный вес продукции ВКК, «нормативно-чистая», «товарная», «реализованная» и другие виды продукции и т.п.) относилось к главным прикладным задачам экономической науки. Сегодня ситуация иная – становление рыночных отношений. В условиях рынка показатель эффективности один – прибыль, и таким образом, как бы исчерпывается возможный набор критериев принятия решений его свободным участником. Возникает вопрос: а нужны ли в условиях рынка все эти методы многокритериальной оптимизации, и если да, то зачем? На первую половину вопроса можно легко ответить, обратившись к опыту развитых стран с рыночной экономикой. Есть ли там такие методы? Ответ: да, есть. Попробуем понять, почему. Действительно генеральная цель фирмы на рынке - максимизация прибыли. Но достигается она не непосредственно, а путем преследования частных целей более низкого уровня. Проиллюстрируем данное утверждение рис.14

максимизация прибыли

достижение снижение правильное наилучшее

максимального производствен- решение продвижение

качества ных издержек вопроса «что товара

выпускать»

(совокупности  

параметров (статьи затрат)

качества)

Рис.14 Иерархия целей предприятия (организации)

Т.е. цель «максимизации прибыли» сводится к установлению значений большего числа качественных и количественных параметров - частных целей. Эти цели могут конкурировать между собой (причины здесь могут быть как чисто технические - например - мощность автомобиля и расход топлива, так и «ресурсо - экономические» - например - средств в различные виды рекламы - печатную, аудио-видео и т.д.). Связь значений этих примеров с прибылью во многих случаях чрезвычайно сильно опосредована, неформальна и достаточно не изучена, т.е. пересчитывать всё в деньги достаточно надёжно и просто не удаётся.

Вторая причина многокритериальности ЗПР в экономике - влияние фактора времени - пространства. И результаты экономической деятельности, и затраты распределены, поэтому приходится соизмерять «ценность» прибыли сегодня, завтра и через год, перспективы развития отделений фирмы в разных регионах (даже - странах) и т.д. Известные приёмы свёртки (например, для распределения во времени - дисконтирование) несут в себе изрядную долю субъективизма (причём субъективизма автора методики, а не эксперта - ЛПР!)

Постановка задач принятия решений при многих критериях принципиально связана с двумя обстоятельствами. С одной стороны, эти задачи близки к задачам принятия решений в условиях неопределенности, так как различные варианты решений должны оцениваться также и в отношении вероятности их успеха и связанного с этим риска. С другой стороны, в многокритериальных задачах принятия решений в условиях определенности учет большого числа критериев основан на отказе от традиционного допущения того, что выбор одной из альтернатив всегда осуществляется на основе лишь одного критерия. В таких ситуациях скалярная задача оптимизации заменяется задачей векторной оптимизации.

Стремление учета этих двух обстоятельств вело по пути разработки математической модели, которая отображала бы многомерную систему целевых функций в скалярный критерий оптимальности. Такой подход неявно требует допущения о наличии у лица, принимающего решение, специальных функций предпочтения. Справедливость этого допущения заранее не очевидна. Однако это направление имеет довольно развитую теорию решений таких задач.

Рассмотрим некоторые примеры типичных постановок многокритериальных задач оптимизации.

• Требуется определить необходимое количество ресурса (средств) K1 и рациональный способ его использования (за критерий можно принять результат использования этого ресурса К2). Примером такой постановки служит задача проектирования оборудования для изготовления пластиковых стаканчиков, характеризуемого стоимостью производства и эксплуатации (К1) и максимальным сроком службы (К2).

• Если ресурсы, требующиеся для достижения поставленных целей неоднородны, то общий векторный критерий будет сформирован из частных, где К_i – количество «ресурса» i-го типа. Примером является задача планирования комплексной научно-исследовательской работы специалистов разных профилей.

• Многокритериальная ЗПР возникает при множественности поставленных целей. В качестве составляющих общего критерия принимают K_i – степень достижения i-ой цели. Соответственно наилучшим образом такая формализация подходит для задач проектирования многоцелевых систем.

• При структуризации общей цели в виде иерархии (“дерева целей”) построение векторного критерия будет осуществлено из К_ij – степени достижения i-ой подцели j-го уровня. Типичным случаем подобных постановок являются задачи программно-целевого планирования развития сложных систем.

• Задача заключается в необходимости оценки эффективности системы на всем ее жизненном цикле. Составными частями векторного критерия будут выступать показатели эффективности функционирования системы на выделенных этапах цикла K_i, где i – количество этапов жизненного цикла. Например, при планировании развития сложных систем необходимо оценивать стоимость создания системы, работу ее в период эксплуатации и эффективность возможного применения.

• Характер многокритериальности носит и задача оценки эффективности сложной системы, функционирующей в различных условиях. В этом случае сводный критерий формируется из К_i – критерия эффективности системы, работающей при i-ом варианте условия. Так, полет авиалайнера должен происходить и днем, и ночью, а также при различных погодных условиях.

• Следует рассматривать возможность использования векторного критерия при необходимости оценки эффективности совокупности взаимосвязанных систем. В качестве частного критерия принимается критерий эффективности i-ой (под) системы К_i. Примером может служить оценка ущерба предприятия, состоящего из нескольких цехов или производственных помещений с установленным технологическим оборудованием.

• При необходимости оценивания эффективности системы в динамике, за определенный период времени, следует формировать общий критерий из критериев эффективности в i-ый «контрольный» момент времени K_i (на i-ом шаге). Примером служит задача планирования развития сложной системы за m-летний период.

• В случае оценки эффективности с разных “точек зрения” также возникает многокритериальная постановка задачи. При необходимости принятия решения по инвестиционному проекту его следует оценивать по всем показателям (NPV, IRR, PV, рентабельности и др.).

Общая задача заключается в следующем:

Векторная целевая функция F(X)=[fⁱ(X)] включает такие частичные целевые функции fⁱ(X), которые не сводятся (по крайней мере, на первом этапе моделирования) в единую целевую функцию и выражают степени удовлетворения различных потребностей. Решение, оптимальное по одной из частичных целевых функций, называется субоптимальным. В общем случае субоптимальные решения для различных частичных целевых функций не совпадают. Отсюда вытекает необходимость выбора таких решений, которые являются наилучшими с точки зрения совокупности частичных целевых функций.

Самым простым решением таких задач является исследование множества эффективных значений функции F=(fⁱ) на основе принципов оптимальности по Парето. Это - классическая задача векторной оптимизации. Однако решить такую задачу крайне не просто. Ситуация облегчается, если множество эффективных решений X^* замкнуто и выпукло, а максимизируемые функции fⁱ(X) – вогнутые (т.е. задачи субоптимизации есть задачи выпуклого программирования). Если множество X^* невыпукло и не все fⁱ(X) вогнутые, то нахождение эффективных решений усложняется. Применяются разнообразные приемы зондирования Парето – границы и нахождение ее характерных точек (например, с помощью теоремы Гермейера). Выделение множества Парето при решении многокритериальных задач часто не является удолетворительным решением. Это связано с тем, что при большом исходном множестве вариантов множество Парето оказываетсям недопустимо большим для того, чтобы ЛПР было бы в состоянии осуществить окончательный выбор самостоятельно.

Кроме того, следует учесть тот момент, что выявление эффективеых альтернатив может происходить и тогда, когда сравниваемые альтернативы заданы в векторной форме. Традиционным способом найти множество эффективных решений X^* нельзя. Сравнение векторов следует проводить с использованием следующих определений.

Пусть заданы вектор a=(a₁,a₂,,a_i,a_n) и b=(b₁,b₂,,b_i,,b_n).

Вектор a доминирует по отношению () вектор b, если a_i  b_i, i = 1,n

Вектор a доминирует по отношению () вектор b, если a_i > b_i, i = 1,n

Тогда множество недоминируемых по отношению () решений является множеством эффективных оценок, а множество недоминируемых решений по отношению (>) называется множеством слабоэффективных оценок. Построив матрицу БО по заданным отношениям можно решить задачу выделения эффективных и слабоэффективных решений для альтернатив, заданных вектором.

Но и здесь возможна некоторая проблема. Суть ее состоит в том, что все сравниваемые альтернативы могут быть эффективны. Тогда, применяя специальные процедуры многокритериальной оптимизации, следует выделять ядро бинарных отношений, в которое входят эффективные и несравнимые с ними альтернативы.

Таким образом, выделение множества Парето можно рассматривать лишь как предварительный этап оптимизации, и налицо проблема сокращения этого множества.

Дальнейший поиск во множестве эффективных решений может быть осуществлен только на основе некоторых принципов принятия решений. Рассмотрим некоторые из них. При этом полагаем, что все критерии являются нормализованными, т.е. приведенными к одному, часто безразмерному масштабу времени.

Принцип равономерности. Состоит в стремлении к равномерному и гармоничному улучшению решения по всем локальным критериям.

1. Принцип равенства. Наилучшим решением является такое, при котором достигается равенство всех локальных критериев. Данный принцип очень «жесткий» и может приводить к решениям вне множества эффективных решений и даже не иметь их, особенно в дискретных случаях.

2. Принцип максмина. Идея равномерности состоит в стремлении повышать уровень всех критериев за счет максимального «подтягивания» наихудшего из критериев (имеющего наименьшее значение).

3. Принцип квазиравенства. Решение считается наилучшим, если значения отдельных критериев отличаются друг от друга не более чем на величину .

Принцип справедливой уступки.

1. Принцип абсолютной уступки. Наилучшим является такое решение, при котором суммарный абсолютный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного уровня повышения других. Принцип оптимальности состоит в максимизации суммы критериев.

2. Принцип относительной уступки. Наилучшим считается такое решение, при котором суммарный относительный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит относительного суммарного уровня повышения по остальным критериям. Принцип оптимальности состоит в произведении локальных критериев.

Принцип выделения главного критерия. Из совокупности локальных критериев выбирается один и принимается в качестве главного. К уровню других критериев предъявляется требование, чтобы они были не меньше некоторых заданных значений, образуя область, в которой ищется решение, наилучшее в смысле главного критерия.

Принцип последовательной уступки. Предположим, что локальные критерии расположены в порядке убывания важности. Процедура поиска наилучшего решения сводится к следующему. Сначала ищется решение наилучшее в смысле критерия f₁. Затем назначается из некоторых практических соображений и точности исходных данных некоторая «уступка» f¹, которую мы согласны допустить для того, чтобы найти решение, наилучее в смысле критерия f². Далее описанная процедура последовательно повторяется для оставшихся критериев. Такой способ поиска наилучшего критерия хорош тем, что сразу видно ценой какой «уступки» в одном критерии приобретается выигрыш в другом.

Конкретная реализация принципов принятия решений выступает в виде алгоритмов или процедур решения задач многокритериальной оптимизации. Практически все известные подходы к решению этих задач предполагают их скаляризацию. При этом одним из главных вопросов является учет предпочтений ЛПР в процессе выбора наилучшего решения. В соответствии с этим принципом методы решения задач многокритериальной оптимизации можно классифицировать в соответствии с характеристикой информации о предпочтениях ЛПР.

• Принятие решения в условиях определенности;

• Принятие решения в условиях отсутствия информации о системе предпочтения ЛПР;

• Принятие решения в условиях постепенного получения информации о системе предпочтения ЛПР.

Классификация многокритериальных методов принятия решений приведена на рис.

Методы решения задач МКО

Имеется Нет никакой Имеется возможность

полная информации последовательного

информация о системе (постепенного)

о системе предпочтений получения частичной

предпочтений ЛПР информации о системе

(функция предпочтений

ценности) ЛПР ЛПР

Построение Лексико- Целевое Выделение Апостери- Последовательное

и графическое программи- всех орное выявление

максимиза- упорядочева рование эффектив- выявление предпочтений

ция ФЦ ние решений ных предпочте- в процессе

ЛПР решений ний на оптимизации

эффективном

множестве

Рис. Классификация методов решения многокритериальных задач.

Рассмотрим первую группу задач, связанных с ситуацией определенности, относительно системы предпочтения ЛПР.

Одним из методов принятия решений в многокритериальной оптимизации для сужения паретовского множества является понятие упорядочения критериев по важности. Вопросы о важности критериев, адресованные ЛПР, оказываются, с одной стороны, достаточно понятными ЛПР, а с другой – его советы могут быть эффективно использованы в алгоритмах оптимизации. Однако, во многих методах требуется, чтобы важность критериев ЛПР выразил точно (сообщил весовые коэффициенты). Примеров качественного упорядочения критериев (без определения весовых коэффициентов) является лексикографическое упорядочение, а многокритериальные задачи со строго ранжированными по важности критериями называются лексикографическими задачами оптимизации. Ясно, что круг многокритериальных задач с лексикографическим упорядочением слишком узок.

Например, лексикографические задачи могут возникать путем введения дополнительных критериев в задачи оптимизации с неединственным решением, такие как организация перевозок грузов (машин, товаров, оборудования и т.д.). При возникновении нескольких оптимальных по критерию минимума общих затрат на перевозку планов, можно ввести новый критерий (минимум времени на перевозку) и в соответствии с ним выбрать наилучший план.

Принцип лексикографического упорядочения может использоваться и в случаях, когда на критериальном пространстве задаются пороговые (минимально допустимые) значения критериев. Тогда указанное упорядочение исходных критериев по важности будет определятся очередностью максимизации этих критериев до соответствующих пороговых значений и многокритериальная задача превращается в лексикографическую задачу с векторным критерием.

Лексикографическая постановка весьма удобно для задач с ограничениями, которые могут оказаться противоречивыми. И если такие ограничения являются “физическими”, т.е. отражают те или иные требования, обуславливаемые сущностью моделируемых процессов и явлений (например, количество расходуемых финансовых средств не должно превышать суммы выделенных денежных ресурсов; доли финансовых средств, выделяемых для различных целей должны быть неотрицательны и в сумме давать единицу и т.д.), то совместность этих ограничений есть условие корректности модели.

Однако, следует отметить, что в общем случае лексикографическая задача оптимизация может оказаться неустойчивой, поскольку незначительные изменения входящих в нее параметров (исходных данных) могут серьезно сказаться на выборе оптимальных альтернатив. Поэтому для их решения применяются специальные методы [ ].

Кроме того, можно предположить, что для многокритериальной задачи важность одного критерия перед другим определяется важностью увеличения на несколько единиц оценок по первому из них перед уменьшением оценок по второму, но на столько же единиц. Отсюда следует, что понятие важности критериев имеет смысл только благодоря процедуре перестановки оценок по различным критериям, но при этом необходимо измерение этих критериев в одних и тех же единицах. Введение такого требования снижает практическую ценность понятия упорядочения критериев

Особенно большой класс принципов принятия решения основан на существовании на множестве векторных оценок отношения предпочтения, зависящего только от системы целевых функций. В этом случае возможно построение соответствующей функции ценности. Кроме этого, знание функции ценности однозначно определяет структуру предпочтения ЛПР. Более подробную информацию о теории функции ценности можно найти в [].

Еще одним алгоритмом принятия решений в условиях определенности являются методы целевого программирования.

Основу целевого программирования, предложенного Чарнсом и Купером, составляет сведение всех критериев в один обобщенный критерий, направленный на минимум, интерпритируемый как некоторое расстояние d от рассматриваемой векторной оценки x до недостижимой, «идеальной» точки x^* = (x^*₁, x^*₂,, x^*_m), к которой лицо, принимающее решение, стремиться приблизиться как можно ближе (с точки зрения d). В качестве метрики d могут выступать

Таким образом, задача целевого программирования сводится к решению задачи:

где, U –множество исследуемых на оптимальность стратегий; K – векторный критерий.

Идею целевого программирования для m=2, d=d₂, ₁=₂=1 поясняет рис.

X₂ d₂(x^*, K(u^*))

K(u^*)

H

K(u) d₂(x^*, K(u))

X₁

Рис.

Следует указать на некоторые особенности, присущие критериальному пространству в целевом программировании. Во-первых, однородные критерии К_i должны иметь общую шкалу отношений (для целевого программирования достаточно шкалы интервалов), а коэффициенты _i – измерять важность критериев в единой шкале отношений. Отсюда следует, что исходные неоднородные критерии должны иметь количественные шкалы. При менее совершенных шкалах (в частности, порядковой) строить обобщенный критерий бессмысленно.

Недостатки данного метода связаны с тем, что у ЛПР имеется в распоряжении только вектор x^* (не говоря о вопросах, связанных с реализуемостью данного вектора) и параметр d; а также отсутствует инвариантность множества допустимых решений относительно преобразований шкал, применяемых для оценки допустимых решений по критериям K_i.

В случае, когда нет никакой информации о системе предпочтений ЛПР, применяются стандартные процедуры выявления эффективных решений. Затем ЛПР выбирает наилучшую альтернативу, путем явного оценивания.

Для случая постепенного получения частичной информации о системе предпочтений ЛПР имеются две группы многокритериальных методов принятия решений.

К методам апостериорного выявления предпочтений на эффективном множестве относят метод Электра.

Вторую группу составляют т.н. интерактивные или человеко-машинные процедуры решения задач МКО (ЧМП). Наиболее развитая разновидность таких ЧМП - это процедуры решения многокритериальных задач линейного программирования. Эти процедуры предназначены для решения задач следующего типа:

,

где m критериев - взаимонезависимы по предпочтению. При этом последнем условии (как нам уже известно) целевая функция имеет вид:

,

поэтому большинство ЧМП ориентировано на поиск соответствующих коэффицентов _k (ЧМП Зайонца-Валлениуса).

В то же время ряд процедур ориентирован (явно) на решение задачи поиска т.н. «удовлетворительного» (а НЕ оптимального) решения, такого, что

,

и речь идёт о поиске соответствующих значений l_k (процедура Михайловского).

Общая структура ЧМП приведена на рис. . На основе этой общей структуры дадим классификацию ЧМП. Если в ЧМП отсутствует шаг А, то она - прямая (или неструктуризованная). В противном случае ЧМП - структуризованная (используется также промежуточный термин - псевдоструктуризованная). Для ЧМП, ориентированных на поиск l_k, используется термин - ЧМП поиска удовлетворительных решений. Есть также и другие классификационные рубрики.

В настоящее время предпочтение отдается структуризованным и псевдоструктуризованным процедурам, т.к. неструктуризованные не гарантируют получения решения даже тогда, когда оно существует. В целом эффективность таких процедур определяется, прежде всего, квалификацией ЛПР.

Стадия оптимизации (выполняется ЭВМ)

А	Определений значений весовых коэффицентов к и/ или коррекция D

Б	Нахождение оптимального решение х* и соответствующей векторной оценки.

В	Формирование дополнительной информации, используемой ЛПР для анализа полученного решения.

Стадия анализа

(выполняется ЛПР)

Г	Оценивание полученного решение и дополнительной информации.

Решение да

удовлетворительно Конец

нет

Д	Формирование информации ЛПР, используемой ЭВМ на шаге Г

Рис.