5.Групповые решения

Проблема коллективного выбора одна из наиболее интересных в теории принятия решения и ценность ее вполне очевидна. Ограниченный объем учебного пособия не позволяет уделить ей должного внимания, поэтому мы рассмотрим лишь некоторые аспекты этой темы.

Общая постановка задачи, связанной с коллективным выбором формируется следующим образом. Имеется группа участников ППР, каждый из которых имеет свои предпочтения на множестве выделенных альтернатив. Требуется построить упорядочение множества альтернатив, отражающее мнение всей группы в целом; иными словами, требуется выработать некоторое совокупное мнение на основе индивидуальных мнений участников процесса ППР.

Каждый участник процесса коллективного выбора дает то, что называется ранжировками объекта.

Введем следующие обозначения.

A - множество оцениваемых альтернатив;

N = {1,n} - множество участников ППР;

R_i, i={1,n} - ранжировка i – го индивидуума.

Ранжировку удобно представлять, выписывая элементы А в столбец в порядке уменьшения предпочтительности сверху вниз. Например, для множества альтернатив A ={k, l, m, t} одна из ранжировок R_i будет иметь вид R_i

_{_________} k

m

l-t

Дефис между l и t указывает, что эти альтернативы равноценны для индивидуума i. В свою очередь, имеет место, следующее упорядочение альтернатив: k  m  (l, t).

Набор ранжировок (R₁,,R_n), выражающих мнения членов группы, определяет групповой профиль. Пусть имеется группа из трех участников. Один из профилей множества альтернатив A ={k, l, m, t} имеет вид

R₁ R₂ R₃

k k k

l m m

m l-t t

t l

Таким образом, нас интересует следующая проблема: как построить итоговую (результирующую) ранжировку? Функцию F: R_n(A)R(A), где R(A) является совокупностью всех возможных ранжировок, задающую правило получения групповой ранжировки, называют функцией группового выбора.

Рассмотрим несколько наиболее общеупотребляемых механизмов получения групповой ранжировки.

«Принцип большинства».

Если мы имеем профиль (R₁,R_n), альтернатива a получит в групповой ранжировке более высокое место, чем альтернатива b, тогда и только тогда, когда большинство участников (т.е. более половины) оценивает a выше b.

Пример: R₁ R₂ R₃ R (результат)

1 1 1 1

2 2 2 2

3 4 4 4

4 3 3 3

По определению, каждая ранжировка R должна обладать свойствами транзитивности и антисимметричности. В то же время мы можем иметь следующий групповой профиль

R₁ R₂ R₃

k l m

l m k

m k l

По правилу простого большинства в групповой ранжировке R должно выполнятся kRl, lRm, mRk. Однако в силу антисимметричности ранжировки из mRk получаем, что не выполняется kRm, что противоречит условию транзитивности. Какая же в этом случае альтернатива k - самая лучшая или самая плохая? Этот пример иллюятрирует так называемый парадокс Кондорсе: объединение индивидуальных ранжировок по отношению предпочтения на основе правила простого большинства не обязательно приводит к групповой ранжировке.

Ж.Кондорсе предложил вариант разрешения противоречия. Для каждой пары альтернатив a_i и a_j вычисляется s_ij – число экспертов, считающих, что a_ia_j. Если s_ij> s_ji, то альтернатива a_i лучше (в итоговой ранжировке) чем a_j. Если некоторая альтернатива лучше всех остальных в указанном смысле, то она называется алтернативой Кондорсе. Для приведенного выше примера альтернативы Кондорсе не существует, так как для

R₁: s_kl=2, s_lk=1 kl; R₂: s_lm=2, s_ml=1  lm; R₃: s_mk=2, s_km=1 mk

Правило Борда

B_i(a) – число альтернатив, расположенных ниже альтернативы a в ранжировке R_i. Для последнего места в ранжировке B_i(a)=0 и т.д.

В(a) = B₁(a)++B_n(a) – называется числом Борда для альтернативы a.

Функция группового выбора определяется следующим образом: в групповом предпочтении альтернатива a выше b тогда и только тогда, когда B(a)>B(b).

Для предыдущего примера B(k)=B(l)=B(m)=3, т.е. в групповой ранжировке все альтернативы равноценны.

К сожелению, между принципами Кондорсе и Борда существует противоречие. Рассмотрим пример.

a₁ a₁ a₁ a₂ a₂

a₃ a₂ a₂ a₃ a₄

a₂ a₄ a₅ a₁ a₃

a₅ a₃ a₃ a₅ a₁

a₄ a₅ a₄ a₄ a₅

Альтернативой Кондорсе здесь является a₁. Но по схеме Борда - a₂ (т.к.s₂=16 а s₁=15).

Подход Кемени.

Еще один подход к определению функции группового выбора был предложени Кемени и Снел. Пусть задан следующий профиль на множестве альтернатив A ={ B, C, D, E, F}

R₁ R₂ R₃

B F C

C E B

D D D

E C E

F B F

Мы можем считать ранжировки R₁ и R₂ сильно удаленными друг от друга, R₁и R₃ близкими.

Для получения согласованного группового мнения имеем следующую задачу: по данному профилю (R₁, R_n) найти ранжировку R с наименьшим расстоянием (d) от всех ранжировок этого профиля. Вполне естественно принять в качестве R – медиану, т.е. такую ранжировку R для которой величина

минимальна.

Очевидно, что мера расстояния d должна удовлетворять следующим условиям:

Кроме того, минимальное положительное расстояние между элементами множества R(A) равно1, т.е. для всех R_i, R_j из R(A): d(R_i,R_j)=0 или d(R_i,R_j)1, а для некоторых R_i, R_j из R(A): d(R_i,R_j)=1.

М етрика d (R_i, R_j) может быть задана следующим образом:

В данном подходе медиана R получила название медианы Кемени и определяется следующей формулой