2.3. Проверка на аддитивную независимость по полезности

Два фактора y и z являются аддитивно независимыми, если ЛПР в состоянии указать две равноценные лотереи с равновероятными исходами следующего вида:

L₁ - (y₁, z₁) и (y₂, z₂)

L₂ - (y₁, z₂) и (y₂, z₁),

причем исход (y₁, z₁) не равноценен ни одному из исходов второй лотереи.

Эксперт затруднился назвать такие лотереи, поэтому в данном случае имеет место взаимная независимость оп полезности.

Этап 3. Построение однофакторных функций полезности.

Используем программный пакет EufNew.

3.1. Построение однофакторной функции полезности для y

Параметры:

1. ЛПР склонен к риску.

2. Пределы изменения атрибута: 5%-30%.

Для фактора y (случай увеличения полезности, при увеличении значений аргумента) однофакторная функция полезности примет вид:

Постоянная отношения к риску с=-0,18

Детерминированный эквивалент = 12%

3.2. Построение однофакторной функции полезности для z

Параметры:

3. ЛПР склонен к риску.

4. Пределы изменения атрибута: 0%-20%.

Для фактора z (случай увеличения полезности, при увеличении значений аргумента) однофакторная функция полезности примет вид:

Постоянная отношения к риску с=-0,25

Детерминированный эквивалент = 11%

Этап 4. Расчет шкалирующих констант и построение многофакторной функции полезности.

Так как факторы y и z являются взаимно независимыми по полезности, то двухфакторная функция полезности имеет вид:

u(y,x)=k_yu_y(y)+k_zu_z(z)+ k_yzu_z(z) u_y(y),

где u_y(.), u_z(.) - условные (однофакторные) функции полезности,

k_y, k_z, k_zy - шкалирующие константы,

k_y, k_z, k_zy >0

k_y=u(y_max,z_min)

k_z=u(y_min,z_max)

k_zy =1- k_y - k_.

Найдем такое y’, чтобы U(y’, z_min) = U(y_min,z_max).

Для U(y’,0%) = U(5%,20%) y’= 25%.

U(25%) =0,41

Далее, найдем вероятность такую, что детерминированный исход (y_max,z_min) равноценен лотерее < (y_max,z_max); ;(y_min,z_min)>, то есть в данном случае (30%,0%) должен быть равноценен лотерее <(30%, 20%);; (5%, 0%)>.

Для ЛПР искомая вероятность =0,6.

Тогда имеет место следующая система:

k_Y =0,6

k_YU(25%) =k_Z

k_y + k_Z + k_ZY = 1

откуда

k_y = 0,6

k_Z= 0,25

k_ZY= 0,15

Итак, функция полезности имеет вид:

u(y, z)=0,6U_y(y)+0,25U_z(z)+0,15 U_y(y) U_z(z).

Этап 5. Проверка согласованности построенной функции полезности с системой предпочтений лпр.

Видно, что структура предпочтительности предложенных альтернатив, полученная с помощью ЛПР соответствует системе предпочтительности построенной с помощью функции полезности. То есть мнения эксперта и значения ФП полностью согласованы.

Этап 6. Выбор наилучшей альтернативы

Найдем вероятность наступления каждого из исходов в рамках данной альтернативы и подсчитаем ожидаемую полезность каждой альтернативы.

Альтернатива 1.

Альтернатива 2.

Альтернатива 3.

Итак, максимальную ожидаемую полезность имеет альтернатива 1 (покупка пакета акций Газпрома). Далее в порядке убывания предпочтительности следуют альтетнативы 2 и 3 (покупка акций ЛУКОЙЛа и Скорочкин Inc&Co).

1 Интервал изменения детерминированного эквивалента установлен ЛПР на уровне +/- 1,5-2% (в абсолютном выражении).

9