Этап 1. Задание на лабораторную работу.

Условие: необходимо провести телефонный кабель в новый микрорайон города. Прокладка кабеля может осуществляться различными способами, и от этого будет зависеть срок эксплуатации кабеля до замены и качество связи.

Оба критерия могут быть рассмотрены как случайные величины. Для каждого из критериев необходимо достигнуть максимального значения для выбора оптимальной альтернативы.

Значения вероятностей различных исходов для 3х различных способов проводки кабеля были оценены экспертно:

1	y	py	z	pz	2	y	py	z	pz	3	y	py	z	pz
	1	0,3	4	0,5		5	0,2	6	0,4		6	0,2	5	0,2
	2	0,6	7	0,5		6	0,6	7	0,6		8	0,8	6	0,5
	3	0,1				7	0,2						7	0,3

Этап 2. Проверка допущений о независимости.

Выведем независимость одного фактора от другого. Самым слабым из условий независимости является односторонняя независимость по полезности, самым сильным - аддитивная независимость. Поэтому анализ целесообразно начинать с выявления независимости одного из факторов (первый, в дальнейшем везде - Y) от Z.

В нашей задаче имеем:

Y – срок эксплуатации, лет, Y имеет пределы (1, 10)

Z – качество связи, Z может принимать значения: (без помех - 8, редкие помехи - 6, без разрывов соединения - 4, редкие случаи разрыва связи – 2 и ненадежная связь – 0 ) от 0 до 8.

Для выявления независимости неоднократно проводится следующий эксперимент.

ЛПР предъявляется лотерея с равновероятными исходами <(Ymin, Z), (Ymax, Z)> и находится ее детерминированный эквивалент вида (Y, Z).

Лотерея вида <(1, Z), (10, Z)>

Лотерея вида <(Y, 0), (Y, 8)>

Рациональным приемом отыскания величины Y^~ является метод "вилки". Протокол эксперимента ведется в следующей форме:

Испытание № 1				Испытание № 2
Значение постоянного фактора (Z1=2)				Значение постоянного фактора (Z2=3)
Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи		Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи
1	9	предпочтительней лотерея		1	9	предпочтительней лотерея
2	1	детерминированный исход		2	1	детерминированный исход
3	8	предпочтительней лотерея		3	8	предпочтительней лотерея
4	2	детерминированный исход		4	2	детерминированный исход
5	7	предпочтительней лотерея		5	7	предпочтительней лотерея
6	3	детерминированный исход		6	3	детерминированный исход
7	6	предпочтительней лотерея		7	6	предпочтительней лотерея
8	4	Все равно		8	4	Все равно

Испытание № 3					Испытание № 4
Значение постоянного фактора (Z3=5)					Значение постоянного фактора (Z4=7)
Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи			Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи
1	9	предпочтительней лотерея			1	9	предпочтительней лотерея
2	1	детерминированный исход			2	1	детерминированный исход
3	8	предпочтительней лотерея			3	8	предпочтительней лотерея
4	2	детерминированный исход			4	2	детерминированный исход
5	7	предпочтительней лотерея			5	7	предпочтительней лотерея
6	3	детерминированный исход			6	3	детерминированный исход
7	6	предпочтительней лотерея			7	6	предпочтительней лотерея
8	4	Все равно			8	4	Все равно

Итак, Y не зависит по полезности от Z.

Проверим наличие независимости Z от Y:

Испытание № 1				Испытание № 2
Значение постоянного фактора (Y1=2)				Значение постоянного фактора (Y2=4)
Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи		Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи
1	7	предпочтительней лотерея		1	7	предпочтительней лотерея
2	1	детерминированный исход		2	1	детерминированный исход
3	6	предпочтительней лотерея		3	6	предпочтительней лотерея
4	2	детерминированный исход		4	2	детерминированный исход
5	4	предпочтительней лотерея		5	4	предпочтительней лотерея
6	3	все равно		6	3	все равно

Испытание № 3				Испытание № 4
Значение постоянного фактора (Y3=6)				Значение постоянного фактора (Y4=9)
Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи		Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи
1	7	предпочтительней лотерея		1	7	предпочтительней лотерея
2	1	детерминированный исход		2	1	детерминированный исход
3	6	предпочтительней лотерея		3	6	предпочтительней лотерея
4	2	детерминированный исход		4	2	детерминированный исход
5	4	предпочтительней лотерея		5	4	предпочтительней лотерея
6	3	все равно		6	3	все равно

Если Y и Z взаимно независимы по полезности, и можно указать на две равноценные лотереи с равновероятными исходами вида:

- для первой лотереи: ( Y1 , Z1 ) и ( Y2 , Z2);

- для второй лотереи: ( Y1 , Z2 ) и ( Y2 , Z1 ),

причем исход ( Y1 , Z1 ) не равноценен ни одному из исходов второй лотереи, то Y и Z аддитивно независимы. Если же можно указать на две лотереи такого вида, которые неравноценны, то аддитивной независимости нет. Таким образом, исследователю необходимо проверить лотереи такого вида, и ответ ЛПР на вопрос об их равноценности решит, имеет ли место аддитивная независимость.

Для нашего случая возьмем следующие лотереи:

1- лотерея (2,2) и (8,7)

2- лотерея (2,7) и (8,2).

Так как ЛПР все равно, какую из этих лотерей выбрать, при этом исход (2,2) не эквивалентен ни одному из исходов второй лотереи, значит можно говорить о равноценности лотерей, следовательно, имеем дело с аддитивной независимостью.

3 этап. Построение условных функций полезности.

Данный этап выполняется на ЭВМ с использованием программы eufNEW.EXE.

В нашем случае программа строит однофакторную функцию полезности для случая увеличения полезности при увеличении значения аргумента, несклонности ЛПР к риску вида:

, где Х - значение аргумента Z или Y, с - постоянная отношения к риску.

Результаты работы программы представим далее:

Свойства функции полезности аргумента Z (качество связи):

Пределы изменения атрибута:

Нижний предел = 0.0000000000

Верхний предел = 8.0000000000

Предпочтительное изменение атрибута: Возрастание

Отношение к риску: Несклонность

Постоянная отношения к риску: 0.1305326225

1 |

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

0 ------------------------------------------------------------

0.0 8.0000000000

Свойства функции полезности Y (срок эксплуатации):

Пределы изменения атрибута:

Нижний предел = 1.0000000000

Верхний предел = 10.0000000000

Предпочтительное изменение атрибута: Возрастание

Отношение к риску: Несклонность

Постоянная отношения к риску: 0.1604039713

1 |

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

0 ------------------------------------------------------------

1.0000000000 10.0000000000

4 этап. Нахождение значений шкалирующих констант и построение двухфакторной функции полезности.

Наша функция имеет вид: U(Y,Z) = k_yu_y(Y) + k_zu_z(Z), при этом U(Y_min,Z_min)=0, U(Y_max,Z_max)=1, тогда U(Y_max, Z_min)> U(Y_min, Z_min) и U(Y_min, Z_max)> U(Y_min, Z_min),

k_y + k_z = 1, k_y = U(Y_max, Z_min), k_z = U(Y_min, Z_max)

Рассмотрим лотерею вида <(1, 8), (10, 0)>

Можно отметить, что в данном случае второй исход предпочтительней первого, следовательно, исходы не эквивалентны.

Таким образом, U(Y_min, Z_max) < U(Y_max, Z_min), т.е. k_y > k_z .

Поскольку U(Y_min, Z_max) < U(Y_max, Z_max), то можно найти Y^~ такое, что

U(Y_min, Z_max) = U(Y^~, Z_min). С учетом того, что k_y + k_z = 1 и U(Y,Z) = k_yU_y(Y) + k_zU_z(Z)

получим: k_yU(Y^~) = k_z или k_yU(Y^~) = 1 - k_y, откуда .

Величина же U(Y^~) может быть вычислена непосредственно по найденной на предыдущем этапе формуле для условной функции полезности используя программу eufNEW.EXE.

Определим, что Y^~=5, тогда U(Y^~) = 0,6198966387, k_z=0,617323338, следовательно, k_y=0,382676662.

Тем самым шкалирующие константы определены.