Сглаживание временного ряда с помощью взвешенной скользящей средней. Оценка точности прогнозирования уровня показателя

Для расчета значений показателя используется следующая формула:

, где

(см. Приложение №4)

Коэффициенты несоответствия для проведенных наблюдений имеют следующие значения:

m	KT
5	0,0235
7	0,0446
9	0,0536

Из таблицы видно, что наиболее точный прогноз при длине интервала сглаживания m=5,

а веса имеют следующие значения:

при m=5

при m=7

при m=9

Точечный прогноз (См. Приложение 5)

Интервальная оценка прогноза для m=5:

=1,74

2-й этап. Сглаживание временного ряда с использованием модели Брауна (экспоненциальное сглаживание). Оценка точности прогнозирования уровня показателя.

Для расчета значений показателя используется следующая формула:

, где  - коэффициент, определяющий вес текущего наблюдения при подсчете экспоненциальной средней.

Прогнозирование с помощью процедур экспоненциального сглаживания осуществляется при помощи прогнозирующих полиномов. Прогноз уровня ряда y_t на период t+ имеет следующий вид:

, где  - период упреждения

N – степень аппроксимирующего полинома

- оценки коэффициентов

При N=0 (Simple Exp. Smoothing)

При N=1 (Linear Exp. Smoothing)

= 2S_t¹ – S_t²

и -экспоненциальные средние первого и второго порядка.

При N=2 (Quadratic Exp. Smoothing)

Для выражения значений коэффициентов ₀, ₁ и ₂ необходимо брать коэффициенты уравнения тренда, полученные методом наименьших квадратов.

Для линейной модели ():

Для квадратичной модели():

Результаты построения прогнозных значений с использованием Simple Exp.Smoothing (См.Приложение 7). Качество прогноза определяется с помощью коэффициента Тейла:

, где L - продолжительность периода упреждения

Оценка качества прогноза представлена в таблице:

	Simple Exp. Smoothing
	KT
0,3	0.0444
0,4	0.0308
0,5	0.0238
0,6	0.0156
0,7	0.0168
0,8	0.0149
0,9	0.0135
0,85	0,0142
0,88	0,0138
0,888	0,0137

Из таблицы видно, что наилучший прогноз получается при  = 0,9. Таким образом, на 31 период строим прогноз, используя  = 0,9

Точечный прогноз: (см. Приложение 8)

Интервальная оценка прогноза:

t_0,05(29) = 2,05

s = 37,47

Результаты построения прогнозных значений с использованием Linear Exp.Smoothing (См.Приложение 9). Оценка качества прогноза представлена в таблице:

a	Kт
0,2	0,0017703
0,4	0,0007198
0,3	0,0008268
0,5	0,0006898
0,7	0,0006774
0,8	0,0006994
0,9	0,0007085
0,95	0,0006999

Из таблицы следует, что К_Т принимает минимальное значение при  = 0,7.

Точечный прогноз: (См.Приложение 9)

Интервальная оценка прогноза:

Результаты построения прогнозных значений с использованием Quadratic Exp.Smoothing (См.Приложение 10). Оценка качества прогноза представлена в таблице:

a	Kт
0,3	0,0041857
0,4	0,0046106
0,5	0,0044552
0,6	0,0043325
0,7	0,0047249
0,8	0,0058093
0,9	0,0073946
0,95	0,0082185

В данном случае минимальному значению К_Т соответствует =0,3

Точечный прогноз: (См. Приложение 10)

Интервальная оценка прогноза:

Сводная таблица по наивным методам прогнозирования.

Модель	Кт	yточ	yинт
Простая средняя	0.564	236.45	236.45  601.22
Адаптивная средняя	0.012	509.74	509.74  77.14
Взвешенная средняя	0.0235	481.975	481.975  21.031
Сглаженная по модели Брауна (простая)	0.0135	499.283	499.28  103.58
Сглаженная по модели Брауна (линейная)	0,0006	551,599	508.08  y  595.17
Сглаженная по модели Брауна (квадратичная)	0,004	555,027	518,6  y  591.5

Из таблицы видно, что лучшими прогнозными характеристиками обладает модель линейного экспоненциального сглаживания, поскольку именно она сохраняет в сглаженном ряду тренд исходного ряда, о чем свидетельствует минимальный коэффициент Тейла, коэффициент несоответствия.

3-й этап. Сглаживание временного ряда с использованием модели тренда. Оценка точности прогнозирования уровня показателя.

Перед тем как использовать модели трендов необходимо проверить гипотезы о существовании тенденции в развитии. (длина временного ряда 27 значений)

Сформулируем основную гипотезу (гипотеза о наличии тенденции в средних):

t_кр (0,05;n+m-2)

Если t>t_кр  принимаем гипотезу H₁, тенденция в средних есть.

Однако перед проверкой основной гипотезы необходимо сформулировать и проверить вспомогательную (гипотеза о проверке однородности ряда):

F_табл (0.05;m-1;n-1)

Если F<F_кр  принимаем гипотезу H₀, совокупность однородная

После первого разбиения временного ряда на 2 совокупности (примерно 50% на 50%) сразу же была выявлена тенденция в средних при одновременной однородности совокупности (См. Приложение 11).

С помощью метода Фостера-Стюарта также установлено, что имеется тенденция в средних и в дисперсиях. (Приложение №12)

Так как тенденция существует, следовательно, можно приступить к построению трендовых моделей. Однако для выбора модели тренда необходимо определить тип экономического роста. Для этого рассчитаем абсолютные цепные приросты по следующей формуле:

Исходя из полученных результатов (см. приложение №13), можно сделать вывод, что перед нами экономическая модель с увеличивающимся типом роста. Тем не менее построим простейшие тренды для различных типов роста и посмотрим их характеристики (см. приложение 14). Основные характеристики использованных трендовых моделей, а также оценка качества прогнозов приведены в таблице:

Модели тренда	S2	R2	Kт
Y=8,252*t+0.3257*t^2	192,005	99,68%	0,0109
Y=-38,0889+17,0457*t	653,83	96,68%	0,0115
Y=exp(3,44631+0,1101*t)	0,05037	94,04%	0,263
Y=-134,35+140,066*ln(t)	5251,55	73,33%	0,1159
Y=11,95*t1.04851	0,0356	95,78%	0,0403
Y=exp(5,49797-3,539/t)	0,31984	62.14%	0,333

Из таблицы видно, что моделью, которая сочетает в себе хорошие прогнозные (по K_T ) и модельные (по R² ) характеристики - парабола.

Итак, для построения прогноза на 31,32 и 33 период по исходному временному ряду из 30 значений используем y=8,34062t+0,32039t^2

Результаты построения смотрите в Приложении № 15.

Этап 4. Построение авторегрессионной модели.

В основе метода авторегрессии лежит гипотеза стационарности изучаемого процесса, т.е. сохранения статистических характеристик явления без изменения не ретроспективном промежутке времени, в настоящем и будущем. В качестве информации, привлекаемой для прогноза, используется ряд динамики случайной прогнозируемой величины (компоненты). Относительно случайной компоненты _t выдвигается гипотеза о том, что она представляет собой стационарный процесс.

Пусть дан ряд динамики некоторого экономического показателя

y_t=f_(t)+ _t

Чтобы выполнить прогноз по модели стационарных случайных процессов, необходимо проверить гипотезу о том, что отклонения от тренда носят случайный характер. Для проверки этой гипотезы воспользуемся критерием серий, основанным на медиане выборке. (см. Приложение 16)

V(t)  [1/2(n+1-1.96]

K_max(n)[3.3 (lgn+1)]

V(t) – общее число серий

К_max(n) – протяженность самой длинной серии

13  [1/2(n+1-1.96]=8,175

6[3.3 (lgn+1)]=10,223

Следовательно ряд динамики отклонений от тренда состоит из случайных независимых величин.

1. Проверка гипотезы о стационарности случайного компонента

Основным условием стационарности случайного процесса является зависимость автокорреляционной функции только от разности аргументов

t_i – t_j = . На практике ориентируются на   n / 4, в нашем случае  = 7.

Для проверки гипотезы о том, что значение автокорреляционной функции зависит не от выбора начала отсчета наблюдений, а только от величины сдвига , найдем для случайного компонента _t (t = 1, …, 30) значения автокорреляционной функции . Затем, исключив последнее наблюдение найдем новую автокорреляционную функцию , и так далее, исключая k (k = 0, 1, …, K) наблюдений, получим  = 7 групп, содержащих по K + 1 коэффициентов автокорреляции, так как рассматриваемый ряд наблюдений содержит 30 значений, то возьмем К=10, большее количество брать не целесообразно, т.к. ряд не будет коротким и полученные коэффициенты не будут адекватными реальной ситуации.

Для стационарного в широком смысле случайного процесса коэффициенты автокорреляции, входящие в одну и ту же группу должны быть однородными.

Для проверки на однородность для каждого из вычисляют величину z-критерия , затем рассчитывают для каждой группы . Далее для каждой группы рассчитывается значение , которое сравнивается табличным ² (K).

Если ²_расч < ² (K), то гипотеза об однородности -й группы не отвергается. Если гипотеза об однородности не отвергается для всех групп, то можно принять, что автокорреляционная функция зависит не от начала отсчета, а только от разности t_i – t_j = , т.е. случайный компонент представляет собой стационарный в широком смысле случайный процесс.

Приведем результаты расчетов ²_расч .

	 = 1	 = 2	 = 3	 = 4	 = 5	 = 6	 = 7	2(0.05, 10)
2расч	0.932	1,196	2,614	0,435	3,338	1,782	0,597	18.3

Таким образом, можно предположить, что отклонения от тренда являются стационарным в широком смысле случайным процессом.

(см. Приложение 17)

Для определения того, что отклонения от тренда подчиняются нормальному закону распределения, были рассчитаны показатели ассиметрии (А) и эксцесса (Э), а также их средние квадратические ошибки.

При нормальном распределении показатели ассиметрии и эксцесса равны нулю, но поскольку мы используем предположение, что исследуемый ряд является выборкой из более длинного ряда динамики, то в этом случае показатели ассиметрии и эксцесса характеризуют выборочную совокупность, являются выборочными оценками. Поэтому уровни ряда являются нормально распределенными, если выполняются слудующие условия:

_А

_Э ,

где коэффициенты ассиметрии и эксцесса определяются по формулам:

А среднеквадратические ошибки коэффициентов ассиметрии и эксцесса – по формулам:

В нашем случае:

А=2,326  1,5*0,405= 0,607

Оба эти условия не выполняются. Более того они удовлетворяют следующим неравенствам:

Таким образом гипотеза о нормальном характере распределения отвергается

Определение наличия автокорреляции в ряду с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

,

Полученное значение сравнивается с табличными верхним d_h и нижним d_l значениями, выбираемыми при уровне значимости , числе факторов в модели  и числе членов временного ряда n.

Могут иметь место следующие случаи:

DW < d_l – положительная автокорреляция;

d₂ < DW < 4 – d₂ – отсутствие автокорреляции;

DW > 4 – d_l – отрицательная автокорреляция;

d_l < DW < d_h или 4 – d₂ < DW < 4 – d_l – нет статистических оснований принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции.

В результате расчетов получили, что DW = 1.907; при  = 0.05,  = 1,

n = 30 - d_l = 1.35 , d₂ = 1.39. Тогда 4 – d_l = 2.65, 4 – d₂ = 2.61.